A rotunda pentagonal alongada é um poliedro convexo formado por 10 triângulos equiláteros, 10 quadrados, 6 pentágonos regulares e 1 decágono regular. O número de vértices deste poliedro é

A rotunda pentagonal alongada é um poliedro convexo formado por 10 triângulos equiláteros, 10 quadrados, 6 pentágonos regulares e 1 decágono regular. O número de vértices deste poliedro é

Para encontrarmos a resposta certa, devemos analisar a estrutura do poliedro. Os 10 triângulos equiláteros possuem 3 vértices cada, totalizando 30 vértices. No entanto, esses vértices não são exclusivos dos triângulos, pois eles compartilham vértices com os quadrados e pentágonos. Os 10 quadrados possuem 4 vértices cada, mas novamente, esses vértices são compartilhados com os triângulos e pentágonos. Já os 6 pentágonos regulares possuem 5 vértices cada, e o decágono regular possui 10 vértices. Ao analisar a estrutura do poliedro, percebemos que cada vértice é compartilhado por pelo menos 3 faces, o que significa que cada vértice é contabilizado mais de uma vez.

Para evitar a contagem dupla dos vértices, devemos encontrar um método para contabilizar apenas os vértices exclusivos de cada face. Uma maneira de fazer isso é contar os vértices de cada face e, em seguida, subtrair os vértices compartilhados. No entanto, essa abordagem pode ser complicada e propensa a erros. Uma alternativa mais fácil é utilizar a fórmula de Euler, que relaciona o número de vértices (V), arestas (A) e faces (F) de um poliedro convexo: V + F = A + 2.

Para aplicar essa fórmula, precisamos conhecer o número de arestas do poliedro. Cada triângulo equilátero possui 3 arestas, totalizando 30 arestas. Cada quadrado possui 4 arestas, totalizando 40 arestas. Cada pentágono regular possui 5 arestas, totalizando 30 arestas. E o decágono regular possui 10 arestas. Ao somar todas as arestas, obtemos um total de 100 arestas.

Agora, podemos aplicar a fórmula de Euler. Substituindo os valores conhecidos, temos: V + 17 = 100 + 2. Simplificando a equação, obtemos: V = 30. Portanto, o número de vértices do poliedro é igual a 30, que é a opção A.