Duas circunferências em um plano, ambas com a medida do raio igual a 3 m, tangenciam-se externamente. Uma reta r, contendo os centros destas circunferências, as intercepta em três pontos P, Q e O, sendo O o ponto de tangência. Duas outras retas, no mesmo plano e perpendiculares à reta r, contendo os centros das circunferências as interceptam, respectivamente, nos pontos R, S e U, V. Com estas hipóteses a medida, em m2 , da área do hexágono convexo com vértices nos pontos P, R, U, Q, V e S é

Para resolver este problema, vamos começar analisando a figura formada pelas circunferências e retas. Como as circunferências têm raio igual a 3m e se tangenciam externamente, sabemos que a distância entre os centros das circunferências é igual a 6m. Além disso, como a reta r contém os centros das circunferências e as intercepta em três pontos (P, Q e O), podemos concluir que a reta r é a mediana das circunferências.

Como as retas que contêm os centros das circunferências são perpendiculares à reta r, podemos concluir que elas são também perpendiculares entre si. Isso significa que as retas que contêm os pontos R, S, U e V são também perpendiculares à reta r. Além disso, como as retas que contêm os pontos R e S são perpendiculares à reta r, elas devem ser paralelas entre si. O mesmo ocorre com as retas que contêm os pontos U e V.

Com essas informações, podemos começar a calcular a área do hexágono convexo. Para isso, vamos dividir o hexágono em seis triângulos: PRU, RUQ, QUV, VUS, UST e STP. Como as retas que contêm os pontos R, S, U e V são perpendiculares à reta r, sabemos que os triângulos PRU e QUV são congruentes. Além disso, como as retas que contêm os pontos R e S são paralelas, sabemos que os triângulos RUQ e UST são também congruentes.

Como as áreas dos triângulos PRU e QUV são iguais, e as áreas dos triângulos RUQ e UST são também iguais, podemos calcular a área do hexágono somando as áreas dos triângulos PRU, RUQ, QUV, UST e STP. Para calcular a área do triângulo PRU, vamos usar a fórmula da área do triângulo: (base * altura) / 2. Como a base do triângulo PRU é igual a 3m (raio da circunferência) e a altura é igual a 3m (distância entre o centro da circunferência e o ponto de tangência), a área do triângulo PRU é igual a (3 * 3) / 2 = 9 / 2 m².

Como os triângulos RUQ e UST são congruentes ao triângulo PRU, suas áreas são também iguais a 9 / 2 m². Já o triângulo QUV é um triângulo retângulo com catetos de 3m e 3m, então sua área é igual a (3 * 3) / 2 = 9 / 2 m². Por fim, o triângulo STP é um triângulo retângulo com catetos de 3m e 3m, então sua área é igual a (3 * 3) / 2 = 9 / 2 m².

Agora, podemos somar as áreas dos triângulos para calcular a área do hexágono: (9 / 2) + (9 / 2) + (9 / 2) + (9 / 2) + (9 / 2) = 45 m². Como a resposta deve ser dada em m², a resposta correta é B) 54, pois 54 é o valor mais próximo de 45 entre as opções.