O número de lados de um polígono convexo que possui 189 diagonais é:

Para resolver esse problema, precisamos lembrar que o número de diagonais de um polígono convexo pode ser encontrado utilizando a fórmula:

n*(n-3)/2, onde n é o número de lados do polígono.

Como sabemos que o número de diagonais é 189, podemos criar uma equação para encontrar o valor de n:

n*(n-3)/2 = 189

Para resolver essa equação, podemos começar pela multiplicação dos dois lados por 2, para eliminar a fração:

n*(n-3) = 378

Agora, podemos expandir o lado esquerdo da equação, utilizando a propriedade distributiva da multiplicação:

n^2 - 3n = 378

Em seguida, podemos reorganizar a equação para que ela fique em forma de quadrado perfeito:

n^2 - 3n - 378 = 0

Essa é uma equação do segundo grau, que pode ser resolvida utilizando a fórmula de Bhaskara:

n = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

No nosso caso, a = 1, b = -3 e c = -378. Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:

n = (3 ± √((-3)^2 - 4*1*(-378))) / 2*1

n = (3 ± √(9 + 1512)) / 2

n = (3 ± √1521) / 2

n = (3 ± 39) / 2

Agora, podemos resolver as duas possibilidades:

n = (3 + 39) / 2 ou n = (3 - 39) / 2

n = 42 / 2 ou n = -36 / 2

n = 21 ou n = -18

Como o número de lados de um polígono convexo não pode ser negativo, a única solução válida é n = 21.

Portanto, a resposta correta é a opção C) 21.