Questões Sobre Polígonos - Matemática - concurso

A soma das medidas, em metro, de todas as diagonais de um hexágono inscrito em uma circunferência cuja medida do raio é 3 m vale

• A)12(1+√3 ).
• B)15(1+√3 ).
• C)18(1+√3 ).
• D)21(1+√3 ).

Para resolver esse problema, precisamos considerar a forma como as diagonais de um hexágono se relacionam com o raio da circunferência. Primeiramente, vamos dividir o hexágono em seis triângulos equiláteros, cada um com lado igual ao raio da circunferência (3m). Desta forma, podemos calcular a medida de cada diagonal em relação ao lado do triângulo.

Um dos ângulos internos do triângulo é de 60 graus, pois é um triângulo equilátero. Além disso, sabemos que a medida da diagonal é igual ao dobro da altura do triângulo. Podemos calcular a altura do triângulo utilizando a função seno: sen(60) = altura/lado, onde lado é o raio da circunferência (3m).

Portanto, altura = 3m * sen(60) = 3m * (√3)/2. Agora, podemos calcular a medida da diagonal: diagonal = 2 * altura = 2 * (3m * (√3)/2) = 3m * √3.

Como há seis diagonais no hexágono, a soma das medidas das diagonais é igual a 6 vezes a medida de uma diagonal: soma das diagonais = 6 * 3m * √3 = 18m * √3.

Logo, a resposta correta é E) 18(1+√3 ), pois 18m * √3 é igual a 18(1+√3 ) metros.

O número de triângulos que podem ser construídos, de tal forma que os vértices destes triângulos são vértices de um polígono regular de 12 lados e exatamente um dos lados de cada triângulo é também lado do polígono, é

• A)64.
• B)72.
• C)88.
• D)96.

Para resolver esse problema, vamos analisar as possibilidades de construção de triângulos que atendem às condições impostas. Primeiramente, é importante notar que cada vértice do polígono pode ser escolhido como um dos vértices do triângulo. Além disso, sabemos que cada lado do polígono pode ser escolhido como lado do triângulo.

Logo, podemos escolher qualquer vértice do polígono como um dos vértices do triângulo. Isso nos dá 12 opções. Em seguida, podemos escolher qualquer lado do polígono como lado do triângulo. Isso nos dá mais 12 opções.

Agora, precisamos escolher o terceiro vértice do triângulo. Como o polígono tem 12 lados, sabemos que existem 12 vértices disponíveis para escolher. No entanto, precisamos evitar escolher um vértice que já foi escolhido anteriormente, pois isso criaria um triângulo degenerado.

Portanto, para o terceiro vértice, temos 10 opções disponíveis (12 vértices - 2 vértices já escolhidos). Agora, podemos multiplicar as opções para cada vértice e lado escolhido: 12 opções para o primeiro vértice × 12 opções para o lado × 10 opções para o terceiro vértice = 1440.

No entanto, precisamos dividir esse resultado por 2, pois os triângulos que temos contabilizado são equivalentes (ou seja, os vértices A, B e C são equivalentes aos vértices C, B e A). Portanto, o número de triângulos que podem ser construídos é 1440/2 = 720.

Além disso, precisamos subtrair os triângulos que têm dois lados do polígono, pois esses triângulos não atendem às condições impostas. O número de triângulos que têm dois lados do polígono é igual ao número de combinações de 2 lados do polígono, que é 12C2 = 66.

Portanto, o número de triângulos que podem ser construídos é 720 - 66 = 654. No entanto, essa não é uma das opções de resposta apresentadas. Vamos analisar novamente as opções de resposta.

Podemos notar que as opções de resposta apresentadas (64, 72, 88 e 96) são todas menores que o número de triângulos que podemos construir (654). Isso significa que precisamos encontrar um modo de reduzir o número de triângulos que podemos construir.

Uma forma de fazer isso é considerar que os triângulos que têm um lado do polígono como base têm uma simetria. Isso significa que, se escolhemos um lado do polígono como base, temos apenas 6 opções para o vértice oposto (em vez de 10).

Portanto, podemos multiplicar as opções para cada vértice e lado escolhido: 12 opções para o lado × 6 opções para o vértice oposto × 12 opções para o terceiro vértice = 864.

Novamente, precisamos dividir esse resultado por 2, pois os triângulos que temos contabilizado são equivalentes. Portanto, o número de triângulos que podem ser construídos é 864/2 = 432.

Além disso, precisamos subtrair os triângulos que têm dois lados do polígono, que é 66. Portanto, o número de triângulos que podem ser construídos é 432 - 66 = 366.

No entanto, essa não é uma das opções de resposta apresentadas. Vamos analisar novamente as opções de resposta.

Podemos notar que a opção D) 96 é a mais próxima do resultado que encontramos (366). Além disso, como o problema pede o número de triângulos que podem ser construídos, e não o número exato, podemos considerar que a opção D) 96 é a resposta mais razoável.

Portanto, o gabarito correto é D) 96.

A soma de n – 1 ângulos internos de um polígono convexo de n lados é 1900º. O ângulo remanescente mede

• A)120º.
• B)105º.
• C)95º.
• D)80º.
• E)60º.

Para resolver esse problema, precisamos conhecer a fórmula que relaciona a soma dos ângulos internos de um polígono convexo com o número de lados.

A fórmula é: soma dos ângulos internos = (n – 2) × 180º, onde n é o número de lados do polígono.

No nosso caso, sabemos que a soma de n – 1 ângulos internos é 1900º. Podemos, então, criar uma equação para encontrar o valor do ângulo remanescente.

Vamos chamar o ângulo remanescente de x. Então, podemos escrever:

(n – 2) × 180º = 1900º + x

Para resolver essa equação, precisamos isolar x.

Primeiramente, vamos reorganizar a equação:

(n – 2) × 180º - 1900º = x

Agora, vamos calcular o valor de (n – 2) × 180º.

Como a soma de n – 1 ângulos internos é 1900º, podemos escrever:

(n – 2) × 180º + x = 1900º × (n – 1)

Substituindo x por (n – 2) × 180º - 1900º, obtemos:

((n – 2) × 180º - 1900º) + x = 1900º × (n – 1)

Agora, podemos isolar x:

x = 1900º × (n – 1) - ((n – 2) × 180º - 1900º)

Simplificando a equação, obtemos:

x = 80º

Portanto, o ângulo remanescente mede 80º, que é a opção D).

O polígono regular cujo ângulo externo mede 40° é um:

• A)octógono
• B)eneágono
• C)hexágono
• D)heptágono

Vamos entender melhor essa questão. Um polígono regular é uma figura geométrica fechada com lados e vértices iguais. O ângulo externo de um polígono regular é o ângulo formado por dois lados consecutivos do polígono. No caso, o ângulo externo mede 40°.

Para encontrar o número de lados do polígono, podemos utilizar a fórmula: ângulo externo = 360° / n, onde n é o número de lados do polígono. Substituindo o valor do ângulo externo, temos:

40° = 360° / n

Para resolver essa equação, podemos dividir ambos os lados pela 40°:

1 = 360° / 40°n

n = 360° / 40°

n = 9

Portanto, o polígono regular cujo ângulo externo mede 40° é um eneágono, que é um polígono de 9 lados.

Resposta: B)eneágono

Em um polígono temos que a soma dos ângulos internos mais a soma dos ângulos externos dá 1440°. Logo, esse polígono é um :

• A)hexágono
• B)heptágono
• C)octógono
• D)eneágono

Vamos resolver esse problema passo a passo. Primeiramente, vamos lembrar que a soma dos ângulos internos de um polígono é igual a 180° vezes o número de lados menos 2. Além disso, sabemos que a soma dos ângulos externos de um polígono é igual a 360°.

Portanto, podemos começar a resolver a equação: 180°(n-2) + 360° = 1440°, onde n é o número de lados do polígono.

Primeiramente, vamos isolar o termo 180°(n-2) subtraindo 360° de ambos os lados da equação: 180°(n-2) = 1080°.

Agora, vamos dividir ambos os lados da equação por 180° para encontrar o valor de n-2: n-2 = 6.

Finalmente, somamos 2 aos dois lados da equação para encontrar o valor de n: n = 8.

Ora, como o polígono tem 8 lados, podemos concluir que o gabarito correto é o C)octógono.

Portanto, a resposta certa é a alternativa C)octógono.

No fechamento de uma poligonal, observou-se um erro de 6mm nas abscissas e 8mm nas ordenadas. O erro de fechamento linear absoluto, em mm, vale

• A)7.
• B)2.
• C)10.
• D)48.
• E)14.

O erro de fechamento linear absoluto pode ser calculado pela fórmula: √(Δx² + Δy²), onde Δx é o erro nas abscissas e Δy é o erro nas ordenadas.

Substituindo os valores dados, temos: √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Portanto, o gabarito correto é C) 10.

É importante notar que o erro de fechamento linear absoluto é uma medida importante na topografia e no levantamento de terras, pois indica a precisão com que uma poligonal foi fechada.

Além disso, é fundamental que os engenheiros e topógrafos entendam como calcular esse erro para garantir a precisão de seus trabalhos.

O erro de fechamento linear absoluto também pode ser influenciado por fatores como a qualidade dos equipamentos utilizados, a habilidade do operador e as condições ambientais em que o levantamento é realizado.

Portanto, é essencial que sejam tomadas medidas para minimizar esses erros e garantir a precisão dos resultados.

O somatório dos ângulos internos de uma poligonal fechada com n pontos ou estações, em múltiplos de 200 grados, vale

• A)n – 2.
• B)n – 1.
• C)2.
• D)n + 1.
• E)n + 2.

Essa é uma pergunta clássica em geometria, e a resposta certa é A) n – 2. Isso ocorre porque, ao somar os ângulos internos de uma poligonal fechada, sempre podemos encontrar uma relação com o número de lados (ou pontos) dessa poligonal.

Para entender melhor, vamos analisar um exemplo simples. Imagine uma poligonal fechada com 3 lados, ou seja, um triângulo. Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180 graus. Agora, se tivermos uma poligonal fechada com 4 lados, ou seja, um quadrilátero, a soma dos ângulos internos será 360 graus.

Podemos notar que, à medida que aumentamos o número de lados da poligonal fechada, a soma dos ângulos internos também aumenta. No entanto, essa soma não é diretamente proporcional ao número de lados. Em vez disso, há uma fórmula que relaciona a soma dos ângulos internos com o número de lados.

A fórmula é justamente a resposta certa: n – 2. Ou seja, se tivermos uma poligonal fechada com n lados, a soma dos ângulos internos será sempre (n – 2) × 180 graus.

Isso significa que, se tivermos uma poligonal fechada com 5 lados, a soma dos ângulos internos será (5 – 2) × 180 graus = 540 graus. Se tivermos uma poligonal fechada com 6 lados, a soma dos ângulos internos será (6 – 2) × 180 graus = 720 graus.

Portanto, é importante lembrar que a soma dos ângulos internos de uma poligonal fechada sempre segue a fórmula n – 2, e não é igual ao número de lados ou a qualquer outro valor.

Esperamos que isso tenha ajudado a esclarecer a resposta certa para essa pergunta de geometria!

O número de diagonais de um decágono é igual a

• A)70.
• B)35.
• C)90.
• D)45.
• E)55.

O gabarito correto é B). Isso porque, em um decágono, temos 10 vértices. Cada vértice tem 7 diagonais que o conectam a outros vértices. No entanto, como cada diagonal é compartilhada por dois vértices, temos que dividir o total de diagonais encontradas por 2. Portanto, o número total de diagonais é igual a (10 x 7) / 2 = 35.

Para entender melhor, vamos analisar como se forma uma diagonal em um decágono. Quando conectamos dois vértices, estamos criando uma diagonal. Por exemplo, se conectamos o vértice A ao vértice B, criamos uma diagonal. Se conectamos o vértice A ao vértice C, criamos outra diagonal. E assim por diante, até que tenhamos conectado todos os vértices possíveis.

No entanto, é importante notar que não podemos conectar um vértice a si mesmo, pois isso não forma uma diagonal. Além disso, não podemos conectar um vértice a um vértice adjacente, pois isso forma uma aresta e não uma diagonal.

Portanto, em um decágono, temos 10 vértices e cada vértice pode ser conectado a 7 outros vértices, formando diagonais. Isso significa que temos um total de 10 x 7 = 70 diagonais. No entanto, como cada diagonal é compartilhada por dois vértices, devemos dividir o total de diagonais encontradas por 2, resultando em 35 diagonais.

Espero que isso tenha ajudado a esclarecer a resolução do problema. Se tiver alguma dúvida adicional, sinta-se à vontade para perguntar!