Questões Sobre Polígonos - Matemática - concurso

Um quadro de comando, no formato de paralelepípedo reto retangular, tem altura de 80 cm, e sua profundidade corresponde à quarta parte do seu comprimento. Se o volume desse quadro é de 0,288 m3, a medida de sua profundidade é

Para resolver esse problema, vamos começar analisando as informações fornecidas. Sabemos que o volume do quadro é de 0,288 m3, e que a altura é de 80 cm. Além disso, a profundidade é igual à quarta parte do comprimento.

Vamos converter a altura de centímetros para metros, pois o volume está em metros cúbicos. 80 cm é igual a 0,8 m. Agora, podemos escrever a fórmula do volume de um paralelepípedo retangular:

V = a × b × c, onde V é o volume, a é o comprimento, b é a largura e c é a altura.

No nosso caso, sabemos que a altura (c) é de 0,8 m, e o volume (V) é de 0,288 m3. Além disso, a profundidade (b) é igual à quarta parte do comprimento (a).

Podemos então escrever uma equação com essas informações:

0,288 = a × (a/4) × 0,8

Agora, podemos resolver essa equação para encontrar o valor de a (comprimento). Depois de resolver a equação, encontramos que a = 1,2 m.

Agora que conhecemos o comprimento, podemos encontrar a profundidade (b), que é igual à quarta parte do comprimento:

b = a/4 = 1,2/4 = 0,3 m

Convertendo a profundidade de metros para centímetros, temos:

b = 0,3 m = 30 cm

• A)25 cm.
• B)30 cm.
• C)35 cm.
• D)40 cm.
• E)45 cm.

Portanto, a resposta correta é B) 30 cm.

Resulta, necessariamente, em um número irracional o quociente da medida

• A) dos lados de um losango e da medida de uma das suas diagonais.
• B) dos lados de um hexágono regular e da medida de uma de suas diagonais.
• C) dos lados de um quadrado e da medida de uma de suas diagonais.
• D) do maior lado de um triângulo e da medida de uma das alturas desse triângulo.
• E) do menor lado de um trapézio e da medida da altura desse trapézio.

Essa é uma questão clássica de matemática, que verifica se o aluno é capaz de identificar uma característica fundamental dos quadrados. O quociente da medida dos lados de um quadrado e da medida de uma de suas diagonais é uma quantidade que sempre resulta em um número irracional.

Isso ocorre porque a diagonal de um quadrado é igual à hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles, cujos catetos são os lados do quadrado. Portanto, aplicando o teorema de Pitágoras, pode-se verificar que a diagonal é igual à raiz quadrada de 2 vezes o lado do quadrado.

Já os outros itens da questão não apresentam essa característica. O losango, por exemplo, é um quadrilátero com lados de mesmo comprimento, mas suas diagonais não têm relação direta com os lados.

O hexágono regular, por sua vez, é um polígono com 6 lados de mesmo comprimento, e suas diagonais também não têm relação direta com os lados.

O triângulo, dependendo de sua forma, pode ter relações diferentes entre seus lados e alturas, e não há uma regra geral que defina uma relação entre essas medidas.

O trapézio, por fim, é um quadrilátero com lados de comprimentos diferentes, e suas alturas também não têm relação direta com os lados.

Portanto, a resposta certa é a alternativa C) dos lados de um quadrado e da medida de uma de suas diagonais.

Para resolver esse problema, precisamos lembrar que o número de diagonais de um polígono convexo pode ser encontrado utilizando a fórmula:

n*(n-3)/2, onde n é o número de lados do polígono.

Como sabemos que o número de diagonais é 189, podemos criar uma equação para encontrar o valor de n:

n*(n-3)/2 = 189

Para resolver essa equação, podemos começar pela multiplicação dos dois lados por 2, para eliminar a fração:

n*(n-3) = 378

Agora, podemos expandir o lado esquerdo da equação, utilizando a propriedade distributiva da multiplicação:

n^2 - 3n = 378

Em seguida, podemos reorganizar a equação para que ela fique em forma de quadrado perfeito:

n^2 - 3n - 378 = 0

Essa é uma equação do segundo grau, que pode ser resolvida utilizando a fórmula de Bhaskara:

n = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

No nosso caso, a = 1, b = -3 e c = -378. Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:

n = (3 ± √((-3)^2 - 4*1*(-378))) / 2*1

n = (3 ± √(9 + 1512)) / 2

n = (3 ± √1521) / 2

n = (3 ± 39) / 2

Agora, podemos resolver as duas possibilidades:

n = (3 + 39) / 2 ou n = (3 - 39) / 2

n = 42 / 2 ou n = -36 / 2

n = 21 ou n = -18

Como o número de lados de um polígono convexo não pode ser negativo, a única solução válida é n = 21.

Portanto, a resposta correta é a opção C) 21.

Para resolver esse problema, vamos calcular as distâncias entre os vértices do polígono. Para isso, vamos utilizar a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano:

d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

Vamos calcular as distâncias entre os vértices:

AB: d = √((-6 - 1)^2 + (2 - 5)^2) = √((-7)^2 + (-3)^2) = √(49 + 9) = √58

BC: d = √((-4 - (-6))^2 + (-5 - 2)^2) = √((2)^2 + (-7)^2) = √(4 + 49) = √53

CD: d = √((-4 - (-4))^2 + (-3 - (-5))^2) = √((0)^2 + (2)^2) = √(0 + 4) = √4 = 2

DA: d = √((-4 - 1)^2 + (-3 - 5)^2) = √((-5)^2 + (-8)^2) = √(25 + 64) = √89

O perímetro do polígono é a soma das distâncias entre os vértices:

P = AB + BC + CD + DA = √58 + √53 + 2√17 + √89

Portanto, a resposta correta é a opção A) √58 + √53 + 2√17 + √89.

A questão parece simples, mas exige atenção aos detalhes. As figuras apresentadas são:

• A)
• B)
• C)
• D)

Observando atentamente cada figura, podemos perceber que três delas possuem uma característica em comum: todas elas possuem formas geométricas fechadas. Já a figura A) apresenta uma forma aberta.

Além disso, as figuras B), C) e D) possuem todas quatro lados, enquanto a figura A) apresenta apenas três lados. Portanto, é fácil concluir que a figura A) é a que mais se destaca das demais.

Outra forma de analisar a questão é perceber que as figuras B), C) e D) apresentam todas uma simetria em relação ao eixo vertical, enquanto a figura A) não apresenta essa simetria.

Portanto, com base em qualquer uma dessas análises, podemos concluir que a figura A) é a que mais se destaca das demais.

Um quadrilátero ABCD possui fixos os vértices A(12,0), B(0,0) e D(16,8). O comprimento do lado BC permanece constante e igual a 4 unidades. Sabendo-se que o lugar geométrico (conjunto de pontos que seguem determinada regra) do ponto médio do segmento de reta que liga os pontos médios das diagonais AC e BD é uma circunferência, o par ordenado do centro desta circunferência, bem como o seu raio são, respectivamente:

• A)C(14, -1) e R = 10
• B)C(7,2) e R = 1
• C)C(-1,0) e R = 2
• D)C(8,4) e R = 4
• E)C(6,2) e R = 16

Para encontrarmos a resposta correta, vamos analisar as propriedades do quadrilátero ABCD. Como o lado BC tem comprimento constante e igual a 4 unidades, podemos concluir que o ponto C se move sobre uma circunferência de centro B e raio 4. Além disso, como o lugar geométrico do ponto médio do segmento de reta que liga os pontos médios das diagonais AC e BD é uma circunferência, podemos concluir que o centro desta circunferência é o ponto médio do segmento de reta que liga os pontos médios das diagonais AC e BD.

Vamos calcular o ponto médio do segmento de reta que liga os pontos médios das diagonais AC e BD. O ponto médio da diagonal AC é o ponto (6,0), que é a média dos pontos A e C. Já o ponto médio da diagonal BD é o ponto (8,4), que é a média dos pontos B e D. O segmento de reta que liga esses dois pontos tem como ponto médio o ponto (7,2).

Portanto, o centro da circunferência é o ponto (7,2). Além disso, como o raio da circunferência é a distância entre o centro e um dos pontos médios das diagonais, temos que o raio é igual a 1 unidade.

Logo, a resposta correta é a opção B)C(7,2) e R = 1.

É importante notar que essa questão envolve conceitos de geometria analítica, como coordenadas cartesianas e equações de circunferências, além de propriedades geométricas dos quadriláteros. Além disso, é fundamental ter habilidade em resolver problemas que envolvem lugar geométrico e relacioná-los com conceitos de geometria.

Em resumo, a questão apresentada é um exemplo de como a matemática pode ser aplicada em problemas geométricos, e como a compreensão dos conceitos e propriedades geométricas pode levar à resolução de problemas complexos.

Para entender melhor essa questão, é importante lembrar que o número de diagonais de um polígono de n lados é dado pela fórmula n*(n-3)/2.

Vamos aplicar essa fórmula ao nosso problema: como temos 10 pontos, o polígono formado pela união de todos esses pontos tem 10 lados.

Substituindo n por 10 na fórmula, obtemos:

10*(10-3)/2 = 10*7/2 = 35

Portanto, o número de diagonais do polígono formado pela união de todos os 10 pontos é igual a 35.

Logo, a afirmação é verdadeira e a resposta certa é C) CERTO.

É importante notar que, para calcular o número de diagonais de um polígono, não é necessário saber qual é a forma do polígono, apenas o número de lados.

Além disso, é fundamental lembrar que a fórmula n*(n-3)/2 só é válida para polígonos convexos, ou seja, polígonos que não têm lados que se cruzam.

Se o polígono for côncavo, a fórmula não é mais válida e é necessário usar outros métodos para calcular o número de diagonais.

No entanto, no caso de um polígono formado pela união de pontos em uma circunferência, como é o caso desse problema, o polígono é sempre convexo.

Portanto, a fórmula n*(n-3)/2 pode ser aplicada com segurança.

paralela à reta r. Isso ocorre porque a reta t corta a reta r em um ângulo de 30º no ponto B, e como o ponto C está sobre a reta t, a reta CD também forma um ângulo de 30º com a reta r no ponto B. Portanto, a reta CD é paralela à reta r, pois dois pares de retas que cortam uma terceira reta em ângulos iguais são paralelas entre si.

Além disso, é importante notar que a construção do trapézio ABCD segue as regras de construção de figuras geométricas, que devem ser respeitadas para que a figura seja válida. Nesse caso, a construção do trapézio foi feita de forma correta, pois as retas r, s e t foram construídas de forma que atendessem às condições impostas pelo problema.

É importante ressaltar que a geometria é uma ferramenta fundamental em various áreas, como arquitetura, engenharia, física, entre outras. A compreensão das propriedades geométricas de figuras planas e espaciais é essencial para o desenvolvimento de projetos e soluções que envolvem a criação de espaços e objetos.

Nesse sentido, o exercício proposto é um exemplo de como a geometria pode ser aplicada em problemas práticos, como o desenho de um estacionamento. A capacidade de resolver problemas geométricos é fundamental para os profissionais que trabalham com projetos que envolvem a criação de espaços e objetos.

Por fim, é importante lembrar que a prática e o estudo da geometria são essenciais para o desenvolvimento de habilidades e competências em áreas que envolvem a criação de espaços e objetos. A resolução de exercícios como o proposto é uma forma eficaz de desenvolver essas habilidades e competências.