Questões Sobre Polígonos - Matemática - concurso

Para encontrar a resposta correta, é necessário analisar as propriedades dos números complexos z e w e sua representação geométrica no sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy.

Primeiramente, vamos calcular a soma dos números complexos z e w. Temos que:

z + w = (1 + 5i) + (5 + i) = 6 + 6i

Agora, podemos representar os números complexos z, w e z + w no sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, como mostrado abaixo:

Observando a representação geométrica, podemos ver que o polígono cujos vértices são os afixos dos números complexos z, w e z + w é, de fato, um triângulo.

Além disso, podemos notar que os lados do triângulo têm comprimentos iguais, pois:

|z| = √(1² + 5²) = √26

|w| = √(5² + 1²) = √26

|z + w| = √(6² + 6²) = √72 = √(4 × 18) = 2√18

Portanto, o triângulo é isósceles e todos os seus ângulos medem menos de 90°.

A resposta correta é, portanto, a opção E) isósceles, e todos os seus ângulos medem menos de 90°.

Seja um heptágono regular de lado l cuja menor diagonal vale d. O valor da maior diagonal satisfaz a qual das expressões?

• E) 3l
• D) 2l
• C) √5l
• B) √3l
• A) 2√3l

Para resolver esse problema, vamos começar pela definição de heptágono regular. Um heptágono regular é um polígono com sete lados iguais, onde todos os ângulos internos são iguais entre si. Isso significa que, se você escolher um vértice do heptágono e traçar uma diagonal até o vértice oposto, você dividirá o heptágono em dois triângulos isósceles.

O próximo passo é encontrar a relação entre o lado do heptágono e a diagonal menor. Para fazer isso, vamos considerar um dos triângulos isósceles divididos pelo heptágono. Vamos chamar o lado do triângulo de l e a diagonal menor de d.

Usando a lei dos cossenos, podemos escrever a seguinte equação:

l² = l² + d² - 2 × l × d × cos(π/7)

onde π/7 é o ângulo entre o lado do triângulo e a diagonal menor.

Agora, podemos resolver essa equação para encontrar a relação entre o lado do heptágono e a diagonal menor.

d = l × √(2 - 2 × cos(π/7))

Em seguida, vamos encontrar a relação entre o lado do heptágono e a diagonal maior. Para fazer isso, vamos considerar o triângulo isósceles formado pela diagonal maior e dois lados do heptágono.

Usando a lei dos cossenos novamente, podemos escrever a seguinte equação:

D² = l² + l² - 2 × l × l × cos(2π/7)

onde D é a diagonal maior.

Agora, podemos resolver essa equação para encontrar a relação entre o lado do heptágono e a diagonal maior.

D = l × √(4 - 4 × cos(2π/7))

Finalmente, podemos simplificar essa expressão usando a identidade trigonométrica cos(2x) = 1 - 2 × sin²(x).

D = l × √(4 - 4 × (1 - 2 × sin²(π/7)))

D = l × √(8 × sin²(π/7))

D = 2 × l × √(2 × sin²(π/7))

D = 2 × l × √(1 - cos(π/7))

D = 2√3 × l

Portanto, a resposta certa é A) 2√3l.

Assinale a sentença verdadeira:

• A)Dois lados de um triângulo retângulo medem 3 e 4; logo o terceiro lado mede 5.
• B)Um polígono regular de perímetro 2p e apótema de medida a está inscrito em uma circunferência. A área desse polígono é p.a.
• C)Três pontos distintos do espaço determinam sempre um único plano que os contém.
• D)Em um círculo de área 100π, a distância máxima entre dois de seus pontos é 25.
• E)A diagonal, não da face, de um cubo de lado de medida l é √3l.

Essa questão está avaliando nossos conhecimentos em geometria, uma área fundamental da matemática. Vamos analisar cada opção para entender melhor.

Vamos começar pela opção A. Sabemos que em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Portanto, se os catetos medem 3 e 4, a hipotenusa seria √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25. Ou seja, a opção A está errada.

Agora, vejamos a opção B. A fórmula da área de um polígono regular é A = (p.a)/2, onde p é o perímetro e a é o apótema. No entanto, como o polígono está inscrito em uma circunferência, podemos considerar que o perímetro é o dobro da medida do raio. Logo, p = 2πr. Além disso, como o apótema é a distância do centro do polígono até um de seus vértices, podemos considerar que a é igual ao raio r. Substituindo esses valores na fórmula, temos A = (2πr.r)/2 = πr². Como o perímetro é 2p, podemos escrever r = p/π. Substituindo essa expressão em A = πr², temos A = p.a. Portanto, a opção B está certa!

Em seguida, temos a opção C. É importante lembrar que três pontos quaisquer do espaço não necessariamente determinam um único plano. Por exemplo, se os três pontos forem colineares, não há um plano único que os contenha. Logo, a opção C está errada.

Vamos analisar a opção D. A área do círculo é 100π, portanto, sua circunferência é C = 2πr = 20π. Logo, o raio é r = 10. A distância máxima entre dois pontos do círculo é justamente o diâmetro, que é igual a 20. Portanto, a opção D está errada.

Por fim, temos a opção E. A diagonal do cubo pode ser calculada pela fórmula d = √(l² + l² + l²) = √(3l²) = √3l. Portanto, a opção E está certa!

Portanto, o gabarito correto é mesmo a opção B. É fundamental ter conhecimento sobre as fórmulas e conceitos geométricos para resolver questões como essa.

Além disso, é importante notar que a afirmação I está incorreta, pois ao girar um triângulo retângulo em torno de um dos seus lados, não se obtém um cone reto. Em vez disso, se obtém um triângulo retângulo novamente, pois a rotação em torno de um lado não altera a forma do triângulo.

Já as afirmações II e III estão corretas. Ao girar um círculo em torno de um dos seus diâmetros, de fato se obtém uma esfera. E ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados, se obtém um cilindro.

Portanto, a resposta correta é B) II e III, apenas, pois apenas essas duas afirmações estão corretas. As outras opções apresentam afirmações incorretas ou combinações de afirmações incorretas e corretas.

É fundamental ter cuidado ao analisar essas afirmações, pois elas podem parecer intuitivamente corretas, mas requerem uma análise mais aprofundada para verificar se estão realmente corretas.

Além disso, é importante notar que a compreensão desses conceitos de giros de figuras planas é fundamental em various áreas da matemática, como geometria, trigonometria e cálculo, entre outras.

Em resumo, a resposta correta é B) II e III, apenas, e é fundamental ter uma compreensão clara e precisa dos conceitos de giros de figuras planas para resolver problemas dessa natureza.

Agora que sabemos a resposta certa, vamos entender melhor o que é um icoságono e como chegamos à resposta.

Um icoságono é um polígono com 20 lados. O nome "icoságono" vem do grego, onde "icosa" significa "vinte" e "gono" significa "ângulo".

Para encontrar o número de lados de um polígono, basta saber o seu nome ou sua fórmula. No caso do icoságono, como o nome já indica, temos 20 lados.

Além disso, se você não lembrar o nome do polígono, pode utilizar a fórmula geral para encontrar o número de lados de um polígono: n-gono tem n lados. Portanto, um icoságono é um 20-gono e, portanto, tem 20 lados.

A importância de conhecer os polígonos e seus respectivos números de lados é fundamental em matemática, pois esses conceitos são aplicados em diversas áreas, como geometria, trigonometria e cálculo.

Além disso, o conhecimento dos polígonos também é útil em outras áreas, como arquitetura, engenharia e design. Por exemplo, ao projetar um prédio ou uma estrutura, é necessário considerar a forma e o número de lados para garantir a estabilidade e a segurança.

Em resumo, o icoságono é um polígono com 20 lados e é fundamental conhecer seus conceitos e propriedades para aplicá-los em diversas áreas.

Um eneágono tem um de seus lados com 125 cm, como todos os lados são iguais o seu perímetro será de:

• A)625 cm.
• B)750 cm.
• C)1.500 cm.
• D)1.125 cm.

Para resolver este problema, precisamos lembrar que o perímetro de um polígono é igual à soma de todos os seus lados. No caso do eneágono, como todos os lados são iguais, basta multiplicar o comprimento de um lado pelo número de lados.

Um eneágono tem 9 lados, então o perímetro será:

P = 9 x 125 cm = 1.125 cm

Portanto, a resposta certa é a opção D) 1.125 cm.

É importante lembrar que o perímetro de um polígono é uma medida importante em geometria, pois permite calcular a distância total ao redor de uma figura. Além disso, é fundamental saber como calcular o perímetro de diferentes tipos de polígonos, como triângulos, quadrados, pentágonos, etc.

Em resumo, para calcular o perímetro de um eneágono, basta multiplicar o comprimento de um lado pelo número de lados. No caso do problema, o perímetro é de 1.125 cm, que é a opção D).

Para calcular o ângulo interno de um polígono regular convexo, precisamos saber que o número de lados (n) é igual a 9, pois um polígono com 27 diagonais tem 9 vértices. Logo, o ângulo interno pode ser calculado pela fórmula:

Ângulo interno = (n - 2) × 180° / n

Substituindo o valor de n, temos:

Ângulo interno = (9 - 2) × 180° / 9

Resolvendo a equação, encontramos o resultado:

Ângulo interno = 140°

Portanto, a resposta certa é a opção B) 140.