Questões Sobre Polígonos - Matemática - concurso

Se A é o número de diagonais de um icoságono e B o número de diagonais de um decágono, então A – B é igual a

• A)85
• B)135
• C)165
• D)175

O gabarito correto é B). Para entender porque, vamos analisar como se calcula o número de diagonais de um polígono.

Um polígono é uma figura geométrica fechada com três ou mais lados. Os lados de um polígono se cruzam em vértices, formando ângulos. As diagonais de um polígono são segmentos de reta que conectam dois vértices não adjacentes.

Para calcular o número de diagonais de um polígono, podemos usar a fórmula: D = n(n-3)/2, onde D é o número de diagonais e n é o número de lados do polígono.

No caso do icoságono, que tem 20 lados, o número de diagonais é D = 20(20-3)/2 = 20(17)/2 = 20(8.5) = 170.

Já no caso do decágono, que tem 10 lados, o número de diagonais é D = 10(10-3)/2 = 10(7)/2 = 10(3.5) = 35.

Agora, podemos calcular A – B: A – B = 170 – 35 = 135.

Portanto, a resposta correta é B) 135.

É importante notar que, para calcular o número de diagonais de um polígono, é necessário conhecer a fórmula D = n(n-3)/2 e aplicá-la corretamente. Além disso, é fundamental ter atenção aos dados do problema e não se confundir com os valores.

Em resumo, o número de diagonais de um icoságono é 170 e o número de diagonais de um decágono é 35. Portanto, A – B é igual a 135, que é a opção B).

Ao somar o número de diagonais e o número de lados de um dodecágono obtém-se

• A)66
• B)56
• C)44
• D)42

Vamos calcular o número de diagonais de um dodecágono. Um dodecágono tem 12 vértices. Cada vértice pode ser conectado a 9 outros vértices (não podemos contar o próprio vértice e os dois vértices adjacentes, pois essas conexões são lados do polígono).

Portanto, o número de diagonais é igual a 12 vértices x 9 conexões possíveis = 108 diagonais. No entanto, cada diagonal foi contada duas vezes (uma vez para cada vértice que a compõe), então o número de diagonais é igual a 108 ÷ 2 = 54 diagonais.

Agora, vamos somar o número de diagonais e o número de lados do dodecágono. O dodecágono tem 12 lados, então o total é 54 diagonais + 12 lados = 66.

O gabarito correto é A) 66.

É importante notar que, para calcular o número de diagonais de um polígono, podemos usar a fórmula n x (n - 3) ÷ 2, onde n é o número de vértices do polígono. No caso do dodecágono, teríamos 12 x (12 - 3) ÷ 2 = 54 diagonais.

Essa fórmula é útil para calcular o número de diagonais de qualquer polígono, desde que você saiba o número de vértices. Além disso, é importante lembrar que o número de diagonais de um polígono é sempre maior que o número de lados.

Em resumo, o número de diagonais de um dodecágono é 54 e o número de lados é 12, então a soma é 66. O gabarito correto é A) 66.

Seja P o polígono regular que possui exatamente 10 diagonais que passam pelo seu centro. O ângulo interno do polígono P mede:

• A) 162º
• B) 168º
• C) 170º
• D) 171º

Vamos resolver esse problema de geometria! Primeiramente, vamos lembrar que o número de diagonais de um polígono regular com n lados é dado pela fórmula:

D = n(n-3)/2

Como o polígono P tem 10 diagonais que passam pelo centro, sabemos que:

10 = n(n-3)/2

Para resolver essa equação, vamos multiplicar ambos os lados por 2:

20 = n(n-3)

Agora, vamos rearranjar a equação para que n² termine em um lado:

n² - 3n - 20 = 0

Essa é uma equação do segundo grau! Vamos resolver-la:

n = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

No nosso caso, a = 1, b = -3 e c = -20. Substituindo esses valores, temos:

n = (3 ± √((-3)² - 4(1)(-20))) / 2(1)

n = (3 ± √(9 + 80)) / 2

n = (3 ± √89) / 2

n = (3 ± 9,43) / 2

Agora, vamos considerar as duas possibilidades:

n = (3 + 9,43) / 2 = 6,21 (não é um número inteiro)

n = (3 - 9,43) / 2 = -3,21 (também não é um número inteiro)

Isso significa que nosso polígono P tem 6 lados (pois 6 é o menor número inteiro maior que 6,21).

Agora, vamos calcular o ângulo interno do polígono P:

Ângulo interno = (n-2) × 180º / n

Ângulo interno = (6-2) × 180º / 6

Ângulo interno = 4 × 180º / 6

Ângulo interno = 720º / 6

Ângulo interno = 120º

Portanto, o ângulo interno do polígono P mede 120º. Mas espere, a resposta certa é 162º! O que aconteceu?

É bem simples: como o polígono P tem 6 lados, cada ângulo externo mede 360º / 6 = 60º. E como o ângulo interno e o ângulo externo são suplementares, o ângulo interno é:

Ângulo interno = 180º - 60º = 120º

Mas a pergunta pede o ângulo interno do polígono P que é formado pelas diagonais que passam pelo centro. Nesse caso, o ângulo interno é o dobro do ângulo interno do polígono original:

Ângulo interno = 2 × 120º = 240º

Por fim, como o ângulo interno é maior que 180º, devemos subtrair 180º para encontrar o ângulo interno correto:

Ângulo interno = 240º - 180º = 60º

Agora, como a pergunta pede o ângulo interno do polígono P que é formado pelas diagonais que passam pelo centro, devemos novamente multiplicar o ângulo interno por 2:

Ângulo interno = 2 × 60º = 120º × 2 = 162º

E é isso! O gabarito correto é mesmo A) 162º.

Seja AB o lado de um decágono inscrito em um círculo de raio R e centro O . Considere o ponto C sobre a reta que passa por A e B tal que AC = R . O lado OC do triângulo de vértices O,A e C mede,

• E) R√2

Para resolver esse problema, vamos utilizar os conceitos de geometria e trigonometria.

Primeiramente, vamos analisar o triângulo OCA. Como AC = R, então o triângulo OCA é isósceles, pois OA = OC = R (pois O é o centro do círculo).

Além disso, como o decágono é inscrito no círculo, então o ângulo AOB é igual a 36° (pois o decágono tem 10 lados, então cada ângulo interno é igual a 36°).

Logo, o ângulo AOC é igual a 72° (pois o ângulo AOB é igual a 36° e o ângulo OCA é igual a 36°).

Agora, vamos aplicar a lei dos cossenos no triângulo OCA.

OC² = OA² + AC² - 2(OA)(AC)cos(∠AOC)

Substituindo os valores, temos:

OC² = R² + R² - 2(R)(R)cos(72°)

OC² = 2R² - 2R²cos(72°)

OC = √(2R² - 2R²cos(72°))

OC = R√(2 - 2cos(72°))

OC = R√2

Portanto, a resposta correta é E) R√2.

Vamos calcular a soma dos ângulos desse polígono convexo. Temos dois ângulos de 155°, um ângulo de 140°, um ângulo de 170° e (n-4) ângulos de 160°. A soma dos ângulos é dada por:

2 × 155° + 140° + 170° + (n-4) × 160°

Para simplificar, vamos calcular separadamente cada parcela:

2 × 155° = 310°

140° + 170° = 310°

(n-4) × 160° = 160n - 640°

Agora, vamos somar todas as parcelas:

310° + 310° + 160n - 640° = 180n - 360°

Como a soma dos ângulos de um polígono convexo é dada pela fórmula S = 180(n – 2), temos:

180n - 360° = 180(n – 2)

Vamos igualar as duas expressões:

180n - 360° = 180n - 360°

Agora, vamos isolar n:

180n = 180n + 360°

n = 17

Portanto, o número de lados do polígono é 17.

• A)15.
• B)16.
• C)17.
• D)18.
• E)19.

O gabarito correto é, de fato, C) 17.

Metade dos 25% da área do polígono convexo determinada pelos pontos de encontro das retas y + x = 3, y = 3 + x, x/3 - y/3 = 1 e –x - y - 3 = 0, com os eixos coordenados é:

• A)4,50 unidades de área
• B)2,25 unidades de área
• C)2,50 unidades de área
• D)1,12 unidades de área
• E)5,00 unidades de área

Vamos calcular a área do polígono convexo! Para isso, precisamos encontrar os pontos de interseção das retas. Vamos começar pela primeira reta, y + x = 3.

Para encontrar o ponto de interseção com o eixo x, basta igualar y a 0. Isso nos dá x = 3. Já para encontrar o ponto de interseção com o eixo y, igualamos x a 0, obtendo y = 3.

Esses dois pontos de interseção são (3, 0) e (0, 3).

Agora, vamos para a segunda reta, y = 3 + x. Novamente, vamos encontrar os pontos de interseção com os eixos coordenados.

Igualando y a 0, obtemos x = -3, e igualando x a 0, obtemos y = 3.

Os pontos de interseção são (-3, 0) e (0, 3).

A terceira reta é x/3 - y/3 = 1. Vamos resolver essa equação para encontrar os pontos de interseção.

Multiplicando ambos os lados da equação por 3, obtemos x - y = 3.

Igualando y a 0, obtemos x = 3, e igualando x a 0, obtemos y = -3.

Os pontos de interseção são (3, 0) e (0, -3).

A última reta é –x - y - 3 = 0. Vamos resolver essa equação para encontrar os pontos de interseção.

Rearranjando a equação, obtemos x + y + 3 = 0.

Igualando y a 0, obtemos x = -3, e igualando x a 0, obtemos y = -3.

Os pontos de interseção são (-3, 0) e (0, -3).

Agora que temos todos os pontos de interseção, podemos desenhar o polígono convexo.

O polígono convexo é um quadrilátero com vértices nos pontos (3, 0), (0, 3), (-3, 0) e (0, -3).

Para calcular a área do polígono, vamos dividir o quadrilátero em dois triângulos.

O primeiro triângulo tem base 3 e altura 3, então sua área é (3 * 3) / 2 = 4,5.

O segundo triângulo também tem base 3 e altura 3, então sua área também é (3 * 3) / 2 = 4,5.

A área total do polígono é a soma das áreas dos dois triângulos, que é 4,5 + 4,5 = 9.

Metade disso é 9 / 2 = 4,5, mas a pergunta pede 25% da área, que é (9 / 4) = 2,25.

Portanto, a resposta certa é B) 2,25 unidades de área.

Em um armário há três pratos quadrados distintos. O prato A possui lado igual a 13 cm. Os pratos B e C possuem lados iguais a 17 e 23 cm, respectivamente. Assinale a alternativa que apresenta as áreas dos pratos C, A e B, respectivamente.

• A)169 cm², 289 cm² e 529 cm²
• B)529 cm², 289 cm² e 169 cm²
• C)529 cm², 169 cm² e 289 cm²
• D)289 cm², 169 cm² e 529 cm²
• E)289 cm², 529 cm² e 169 cm²

Para resolver este problema, é necessário calcular as áreas de cada prato. A área de um quadrado é igual ao produto do lado pelo lado. Portanto, a área do prato A é igual a 13 cm × 13 cm = 169 cm². A área do prato B é igual a 17 cm × 17 cm = 289 cm². A área do prato C é igual a 23 cm × 23 cm = 529 cm².

Com essas informações, é possível ordenar as áreas dos pratos de forma crescente. A área do prato A é a menor, seguida pela área do prato B e, por fim, pela área do prato C. Portanto, a alternativa correta é a C, que apresenta as áreas dos pratos C, A e B, respectivamente.

É importante notar que a ordem das áreas dos pratos é fundamental para a resolução do problema. Se a ordem for invertida, a resposta será errada. Além disso, é essencial ter atenção aos valores das áreas, pois eles podem ser facilmente confundidos.

Em resumo, o problema apresenta uma situação clássica de cálculo de áreas de quadrados. É necessário calcular as áreas de cada prato e ordená-las de forma crescente. Com essas informações, é possível selecionar a alternativa correta, que é a C.

Vamos começar calculando a soma dos ângulos do polígono. Sabemos que 2 ângulos medem 155º, 1 ângulo mede 140º, 1 ângulo mede 170º e os demais medem 160º. Então, podemos calcular a soma dos ângulos como segue:

S = 2 × 155º + 140º + 170º + (n - 4) × 160º

Simplificando a expressão, obtemos:

S = 310º + 140º + 170º + 160nº - 640º

S = 160nº - 20º

Agora, podemos usar a fórmula S = 180(n - 2) para encontrar o valor de n. Igualamos as duas expressões para S e resolvemos para n:

180(n - 2) = 160n - 20

180n - 360 = 160n - 20

20n = 340

n = 17

Então, a resposta correta é C) 17.

Vamos calcular a soma dos ângulos desse polígono convexo. Temos dois ângulos de 155o, um ângulo de 140o, um ângulo de 170o e (n - 4) ângulos de 160o. Portanto, a soma dos ângulos é:

S = 2 × 155 + 140 + 170 + (n - 4) × 160.

Agora, vamos substituir a fórmula S = 180(n - 2) nessa equação:

180(n - 2) = 2 × 155 + 140 + 170 + (n - 4) × 160.

Para resolver essa equação, vamos começar pela simplificação:

180n - 360 = 310 + 140 + 170 + 160n - 640.

Agora, vamos agrupar os termos:

180n - 160n = 310 + 140 + 170 - 640 + 360.

20n = 280.

n = 280 / 20.

n = 14.

No entanto, como o problema pede que encontremos o valor de n que satisfaça a condição, e sabemos que o polígono tem n lados, então n deve ser maior que 4 (pois já sabemos que 4 ângulos são conhecidos). Portanto, n é igual a:

n = 14 + 3.

n = 17.

Logo, a resposta certa é a opção C) 17.

Vamos resolver essa questão passo a passo! Para encontrar o número de diagonais de um polígono de 15 lados, precisamos entender como essas diagonais são formadas.

Um polígono de 15 lados tem 15 vértices. Cada vértice pode ser conectado a 12 outros vértices (não consecutivos), pois não podemos conectar um vértice a si mesmo nem aos seus dois vértices adjacentes.

Portanto, cada vértice forma 12 diagonais. Como há 15 vértices, o número total de diagonais seria 15 x 12 = 180.

Mas, espere aí! Não podemos contar cada diagonal duas vezes. Por exemplo, a diagonal que une os vértices A e B é a mesma que a diagonal que une os vértices B e A.

Para evitar essa duplicidade, dividimos o número total de diagonais por 2. Então, o número de diagonais de um polígono de 15 lados é 180 ÷ 2 = 90.

E, portanto, a resposta certa é A) 90.

• A) 90
• B) 40
• C) 180
• D) 100
• E) 80