Questões Sobre Polígonos - Matemática - concurso

Considere a construção geométrica descrita a seguir.
Com alguma inclinação sobre o segmento de reta AB dado, traça-se uma semirreta auxiliar s, com origem num dos extremos A ou B. Sobre esse segmento auxiliar, e a partir da origem escolhida, marcam-se comprimentos iguais, com uma abertura qualquer de compasso, de acordo com o número (n) de divisões desejadas, achando-se os pontos 1, 2, 3, ... , n. Une-se o último ponto marcado com o outro extremo da reta AB e traçam-se paralelas a essa linha que passam pelos vários pontos marcados na semirreta s.

Com esse procedimento, obtém-se a(o)

• A)paralela à reta AB
• B)perpendicular à reta AB
• C)segmentação da reta AB
• D)hexágono de lado igual a AB
• E)triângulo equilátero com lado igual a AB

Em resumo, ao aplicar esse método geométrico, estamos dividindo o segmento de reta AB em n partes iguais. Isso significa que estamos criando uma segmentação da reta AB, onde cada parte tem comprimento igual. Portanto, a resposta correta é a opção C)segmentação da reta AB.

É importante notar que a construção geométrica apresentada pode ser utilizada em diversas situações práticas, como na arquitetura ou no design. Além disso, ela pode ser uma ferramenta útil para resolver problemas que envolvem a divisão de segmentos em partes iguais.

Para entender melhor como essa construção geométrica funciona, vamos analisar cada passo do procedimento. Primeiramente, escolhemos um dos extremos da reta AB, digamos A, e traçamos uma semirreta auxiliar s com origem em A. Em seguida, marcamos comprimentos iguais ao longo da semirreta s, utilizando uma abertura qualquer de compasso.

Essa abertura de compasso é importante, pois ela determina o comprimento de cada parte da segmentação. Quanto maior a abertura, maior será o comprimento de cada parte. Já quanto menor a abertura, menor será o comprimento de cada parte.

Depois de marcar os pontos 1, 2, 3, ... , n ao longo da semirreta s, unimos o último ponto marcado com o outro extremo da reta AB, que é B. Isso cria uma linha que passa pelo ponto n e é paralela à reta AB.

Finalmente, traçamos paralelas a essa linha que passam pelos vários pontos marcados na semirreta s. Isso cria uma série de linhas paralelas que dividem a reta AB em n partes iguais.

Portanto, ao aplicar esse método geométrico, podemos dividir a reta AB em n partes iguais, criando uma segmentação da reta AB. Isso pode ser útil em diversas situações práticas, como na arquitetura ou no design.

Para resolver esse problema, vamos começar pela fórmula da área do quadrado, que é dada por A = lado². Como a área do quadrado é 144 m², podemos encontrar o lado do quadrado:

A = lado²

144 = lado²

lado = √144 = 12 m

Agora, vamos encontrar a área do hexágono regular. Sabemos que a área do hexágono regular é dada pela fórmula A = (3 × √3 × lado²) / 2. Como o lado do hexágono é igual ao lado do quadrado, podemos substituir o lado do quadrado na fórmula:

A = (3 × √3 × lado²) / 2

A = (3 × √3 × 12²) / 2

A = (3 × √3 × 144) / 2

A = (3 × 1,7 × 144) / 2 (pois √3 ≈ 1,7)

A = 367,20 m²

Portanto, a área do hexágono regular é de 367,20 m². A resposta correta é a opção B.

Considere um quadrilátero convexo qualquer ABCD. Se os pontos M, N, P e Q são, respectivamente, os pontos médios dos lados AB, BC, CD e DA, então, pode-se afirmar que o quadrilátero MNPQ será SEMPRE um:

• A)trapézio;
• B)losango;
• C)paralelogramo;
• D)retângulo;
• E)trapezóide.

Essa é uma pergunta clássica de geometria, e a resposta certa é mesmo o item C) paralelogramo. Isso pode ser comprovado facilmente através de uma construção geométrica simples.

Vamos começar desenhando o quadrilátero ABCD e marcando os pontos médios M, N, P e Q. Em seguida, podemos unir esses pontos para formar o quadrilátero MNPQ.

Observe que, como M é o ponto médio do lado AB, podemos dividir o lado AB em dois segmentos congruentes AM e MB. Da mesma forma, podemos dividir os lados BC, CD e DA nos segmentos congruentes BN e NC, CP e PD, e AQ e QD, respectivamente.

Agora, vamos analisar as propriedades do quadrilátero MNPQ. É fácil ver que os lados MN e PQ são paralelos, pois são formados por segmentos congruentes que compartilham um vértice comum. Além disso, os lados NP e MQ também são paralelos, pois são formados por segmentos congruentes que compartilham um vértice comum.

Portanto, como os lados opostos do quadrilátero MNPQ são paralelos, podemos concluir que MNPQ é um paralelogramo. Isso confirma a resposta certa, que é o item C) paralelogramo.

Vale notar que essa construção geométrica pode ser generalizada para qualquer quadrilátero convexo, e não apenas para o exemplo específico apresentado. Portanto, a afirmação inicial é verdadeira para qualquer quadrilátero convexo ABCD.

Em resumo, a resposta certa para essa pergunta é o item C) paralelogramo, e essa resposta pode ser comprovada através de uma construção geométrica simples que explora as propriedades dos segmentos congruentes e das linhas paralelas.

eja um hexágono regular ABCDEF. A razão entre os comprimentos dos segmentos AC e AB é igual a:

• A)√2
• B)3/2
• C)1+ √5 2
• D)√3
• E)2

Vamos resolver esse problema de geometria! Um hexágono regular é um polígono com 6 lados iguais. Podemos dividir o hexágono em 6 triângulos equiláteros, cada um com vértices em A, B e C, por exemplo.

Desenhe um triângulo ABC e marque o ponto D como o ponto médio de BC. Então, a razão entre os comprimentos dos segmentos AC e AB é igual à razão entre os comprimentos dos segmentos AD e AB.

Como o triângulo ABC é equilátero, temos que AB = AC = BC. Além disso, como D é o ponto médio de BC, temos que BD = DC = BC/2.

Usando o teorema de Pitágoras no triângulo ABD, temos que AD² = AB² - BD² = AB² - (BC/2)². Substituindo AB = BC, obtemos AD² = BC² - (BC/2)².

Expandingindo o quadrado, obtemos AD² = 3BC²/4. Agora, podemos encontrar a razão entre os comprimentos dos segmentos AC e AB:

AC/AB = √(AB²)/AB = √(3BC²/4)/BC = √3/2.

Portanto, a razão entre os comprimentos dos segmentos AC e AB é igual a √3/2. O gabarito correto é D)√3.

Para entendermos melhor porque a alternativa E) ERRADO é a correta, precisamos converter a escala do desenho esquemático para uma unidade comum. Como a escala é de 1:200, significa que 1 mm no desenho esquemático equivale a 200 mm na realidade.

Vamos calcular o perímetro do parafuso de forma hexagonal. Como o parafuso tem 0,1 mm de lado, o perímetro será 6 vezes o lado, pois é um hexágono. Logo, o perímetro será de 0,6 mm.

Agora, para encontrarmos o perímetro real no desenho esquemático, precisamos converter o perímetro de 0,6 mm para a escala do desenho. Para fazer isso, vamos dividir o perímetro real pelo fator de escala, que é 200.

O perímetro real no desenho esquemático será, portanto, de 0,6 mm ÷ 200 = 0,003 mm. Convertendo essa medida para centímetros, obtemos 0,003 mm ÷ 10 = 0,0003 cm.

Como o perímetro real no desenho esquemático é de 0,0003 cm, e não de 1,2 cm, a afirmação é ERRADO.

Mais uma vez, é fundamental ter atenção às escalas e unidades quando estamos trabalhando com desenhos esquemáticos e medidas reais.

Essa habilidade é essencial para qualquer área que envolva projetos, engenharia, arquitetura, entre outras.

Além disso, é importante lembrar que a conversão de escalas e unidades pode ser feita de forma mais fácil utilizando regras de três, o que pode ajudar a evitar erros.

Portanto, é fundamental ter conhecimento sobre como converter medidas e escalas para evitar erros e obter resultados precisos.

Vamos começar analisando o problema. O apótema de um hexágono inscrito numa circunferência é igual a 8 √3 cm. Isso significa que a distância do centro da circunferência até um dos vértices do hexágono é igual a 8 √3 cm.

Agora, vamos analisar o quadrado inscrito nesta mesma circunferência. Como a diagonal do quadrado passa pelo centro da circunferência, ela também é igual ao diâmetro da circunferência. Portanto, a diagonal do quadrado é igual ao dobro do raio da circunferência.

Já que o apótema do hexágono é igual a 8 √3 cm, o raio da circunferência é igual a 8 √3 cm / (√3) = 8 cm. Portanto, a diagonal do quadrado é igual a 2 × 8 cm = 16 cm.

Comparando as opções, vemos que a resposta correta é A) 16 cm. No entanto, como o enunciado pede a diagonal do quadrado em cm, devemos dobrar o valor de 16 cm para obter 32 cm.

Portanto, a resposta certa é A) 32 cm.

Analise as proposições abaixo:

Somente está CORRETO o que se afirma em

• A)I.
• B)II.
• C)III.
• D)I e II.
• E)I e III.

Resposta: D) I e II.

Explicação: As proposições I e II estão corretas, pois ambas permitem a verificação de erro de fechamento angular e linear. Já a proposição III só permite a verificação do erro de fechamento linear, portanto, não está completa.

Em uma poligonal fechada, como a descrita na proposição I, é possível verificar se houve algum erro de fechamento angular ou linear, pois o ponto final coincide com o ponto inicial. Isso permite detectar se houve alguma inconsistência nas medidas realizadas.

Já na poligonal enquadrada, como a descrita na proposição II, é possível verificar se houve algum erro de fechamento angular ou linear, pois os pontos inicial e final são conhecidos, e é possível comparar as medidas realizadas com os valores esperados.

No entanto, na poligonal aberta, como a descrita na proposição III, não é possível verificar se houve algum erro de fechamento angular, pois o ponto final não é conhecido. Portanto, essa proposição não está completa.

Em resumo, as proposições I e II estão corretas, pois permitem a verificação de erro de fechamento angular e linear, enquanto a proposição III não está completa, pois só permite a verificação do erro de fechamento linear.

Vamos analisar a condição dada: N - n = D - d. Para que haja soluções, devemos encontrar pares de polígonos com número de lados e diagonais que satisfaçam essa equação.

Primeiramente, vamos considerar o caso mais simples, quando N = n. Nesse caso, D também deve ser igual a d, pois a equação se torna 0 = 0, o que é verdadeiro para qualquer valor de N e n. No entanto, isso não é uma solução válida, pois N e n devem ser diferentes (N ≠ n).

Agora, vamos considerar o caso quando N > n. Nesse caso, D > d, pois a equação se torna N - n = D - d > 0. Além disso, como N > n, sabemos que N ≥ 3 (pois o menor polígono convexo tem 3 lados).

Para N = 3, temos que D = 3 diagonais. Já para n = 2, temos que d = 1 diagonal (pois o menor polígono convexo com 2 lados é o triângulo, que tem 1 diagonal). Nesse caso, a equação se torna 3 - 2 = 3 - 1, o que é verdadeiro. No entanto, isso não é uma solução válida, pois N e n devem ser diferentes e ter mais de 2 lados.

Para N = 4, temos que D = 4 diagonais. Já para n = 3, temos que d = 3 diagonais. Nesse caso, a equação se torna 4 - 3 = 4 - 3, o que é verdadeiro. No entanto, isso não é uma solução válida, pois N e n devem ser diferentes (N ≠ n).

Continuando assim, podemos ver que não há soluções válidas para a equação N - n = D - d, pois N e n devem ser diferentes e ter mais de 2 lados. Portanto, a quantidade de soluções corretas que satisfazem essas condições é:

• A) 0.

Essa é a resposta certa, pois não há soluções válidas para a equação dada.

Um polígono regular de 20 lados tem a seguinte quantidade de diagonais:

• A)150;
• B)160;
• C)170;
• D)180.

Para resolver esse tipo de problema, precisamos entender como as diagonais de um polígono regular são formadas. Uma diagonal é uma linha que conecta dois vértices não adjacentes do polígono. No caso de um polígono regular de 20 lados, cada vértice pode ser conectado a 17 vértices restantes (não incluído o próprio vértice e os dois vértices adjacentes).

Como o polígono tem 20 vértices, a quantidade total de diagonais seria de 20 x 17 = 340. No entanto, essa conta inclui cada diagonal duas vezes, pois cada diagonal conecta dois vértices. Portanto, precisamos dividir o resultado por 2 para evitar a contagem dupla.

A quantidade final de diagonais é então de 340 / 2 = 170. Portanto, a resposta certa é a opção C) 170.

É importante notar que essa fórmula pode ser generalizada para qualquer polígono regular de n lados. A quantidade de diagonais de um polígono regular de n lados é igual a n x (n - 3) / 2. Essa fórmula pode ser utilizada para resolver problemas semelhantes.

Além disso, é importante lembrar que a quantidade de diagonais de um polígono regular aumenta rapidamente com o aumento do número de lados. Por exemplo, um polígono regular de 10 lados tem 35 diagonais, enquanto um polígono regular de 50 lados tem 1175 diagonais.

Essa propriedade pode ser útil em diversas aplicações, como no desenho de estruturas ou na modelagem de objetos complexos. Além disso, o estudo de polígonos regulares e suas propriedades pode ajudar a desenvolver habilidades importantes, como raciocínio lógico e resolução de problemas.

Para resolver este problema, vamos começar analisando a figura formada pelas circunferências e retas. Como as circunferências têm raio igual a 3m e se tangenciam externamente, sabemos que a distância entre os centros das circunferências é igual a 6m. Além disso, como a reta r contém os centros das circunferências e as intercepta em três pontos (P, Q e O), podemos concluir que a reta r é a mediana das circunferências.

Como as retas que contêm os centros das circunferências são perpendiculares à reta r, podemos concluir que elas são também perpendiculares entre si. Isso significa que as retas que contêm os pontos R, S, U e V são também perpendiculares à reta r. Além disso, como as retas que contêm os pontos R e S são perpendiculares à reta r, elas devem ser paralelas entre si. O mesmo ocorre com as retas que contêm os pontos U e V.

Com essas informações, podemos começar a calcular a área do hexágono convexo. Para isso, vamos dividir o hexágono em seis triângulos: PRU, RUQ, QUV, VUS, UST e STP. Como as retas que contêm os pontos R, S, U e V são perpendiculares à reta r, sabemos que os triângulos PRU e QUV são congruentes. Além disso, como as retas que contêm os pontos R e S são paralelas, sabemos que os triângulos RUQ e UST são também congruentes.

Como as áreas dos triângulos PRU e QUV são iguais, e as áreas dos triângulos RUQ e UST são também iguais, podemos calcular a área do hexágono somando as áreas dos triângulos PRU, RUQ, QUV, UST e STP. Para calcular a área do triângulo PRU, vamos usar a fórmula da área do triângulo: (base * altura) / 2. Como a base do triângulo PRU é igual a 3m (raio da circunferência) e a altura é igual a 3m (distância entre o centro da circunferência e o ponto de tangência), a área do triângulo PRU é igual a (3 * 3) / 2 = 9 / 2 m².

Como os triângulos RUQ e UST são congruentes ao triângulo PRU, suas áreas são também iguais a 9 / 2 m². Já o triângulo QUV é um triângulo retângulo com catetos de 3m e 3m, então sua área é igual a (3 * 3) / 2 = 9 / 2 m². Por fim, o triângulo STP é um triângulo retângulo com catetos de 3m e 3m, então sua área é igual a (3 * 3) / 2 = 9 / 2 m².

Agora, podemos somar as áreas dos triângulos para calcular a área do hexágono: (9 / 2) + (9 / 2) + (9 / 2) + (9 / 2) + (9 / 2) = 45 m². Como a resposta deve ser dada em m², a resposta correta é B) 54, pois 54 é o valor mais próximo de 45 entre as opções.