Reduzindo à metade o número de lados de um polígono, a diferença entre o número de diagonais do polígono original e do novo polígono é igual a 30. O número de diagonais traçadas de quatro vértices consecutivos do polígono original é igual a

Seja o polígono original com n lados. O número de diagonais do polígono original é dado por C(n, 2) - n = (n(n-1))/2 - n = (n² - 3n)/2. Reduzindo o número de lados à metade, o novo polígono terá n/2 lados. O número de diagonais do novo polígono é então igual a ((n/n)² - 3(n/2))/2 = (n² - 6n)/8. A diferença entre o número de diagonais do polígono original e do novo polígono é então igual a ((n² - 3n)/2) - ((n² - 6n)/8) = (4n² - 12n - n² + 6n)/8 = (3n² - 6n)/8. Como essa diferença é igual a 30, temos que (3n² - 6n)/8 = 30. Multiplicando ambos os membros por 8, obtemos 3n² - 6n = 240. Dividindo ambos os membros por 3, obtemos n² - 2n = 80. Rearranjando os termos, obtemos n² - 2n - 80 = 0. Fatorando, obtemos (n - 10)(n + 8) = 0. Portanto, n = 10 ou n = -8. Como o número de lados de um polígono não pode ser negativo, temos que n = 10. O número de diagonais traçadas de quatro vértices consecutivos do polígono original é então igual a C(10, 4) = 210. Destes, 4 são lados do polígono, então o número de diagonais é igual a 210 - 4 = 25.