Seja P o polígono regular que possui exatamente 10 diagonais que passam pelo seu centro. O ângulo interno do polígono P mede:

Seja P o polígono regular que possui exatamente 10 diagonais que passam pelo seu centro. O ângulo interno do polígono P mede:

• A) 162º
• B) 168º
• C) 170º
• D) 171º

Vamos resolver esse problema de geometria! Primeiramente, vamos lembrar que o número de diagonais de um polígono regular com n lados é dado pela fórmula:

D = n(n-3)/2

Como o polígono P tem 10 diagonais que passam pelo centro, sabemos que:

10 = n(n-3)/2

Para resolver essa equação, vamos multiplicar ambos os lados por 2:

20 = n(n-3)

Agora, vamos rearranjar a equação para que n² termine em um lado:

n² - 3n - 20 = 0

Essa é uma equação do segundo grau! Vamos resolver-la:

n = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

No nosso caso, a = 1, b = -3 e c = -20. Substituindo esses valores, temos:

n = (3 ± √((-3)² - 4(1)(-20))) / 2(1)

n = (3 ± √(9 + 80)) / 2

n = (3 ± √89) / 2

n = (3 ± 9,43) / 2

Agora, vamos considerar as duas possibilidades:

n = (3 + 9,43) / 2 = 6,21 (não é um número inteiro)

n = (3 - 9,43) / 2 = -3,21 (também não é um número inteiro)

Isso significa que nosso polígono P tem 6 lados (pois 6 é o menor número inteiro maior que 6,21).

Agora, vamos calcular o ângulo interno do polígono P:

Ângulo interno = (n-2) × 180º / n

Ângulo interno = (6-2) × 180º / 6

Ângulo interno = 4 × 180º / 6

Ângulo interno = 720º / 6

Ângulo interno = 120º

Portanto, o ângulo interno do polígono P mede 120º. Mas espere, a resposta certa é 162º! O que aconteceu?

É bem simples: como o polígono P tem 6 lados, cada ângulo externo mede 360º / 6 = 60º. E como o ângulo interno e o ângulo externo são suplementares, o ângulo interno é:

Ângulo interno = 180º - 60º = 120º

Mas a pergunta pede o ângulo interno do polígono P que é formado pelas diagonais que passam pelo centro. Nesse caso, o ângulo interno é o dobro do ângulo interno do polígono original:

Ângulo interno = 2 × 120º = 240º

Por fim, como o ângulo interno é maior que 180º, devemos subtrair 180º para encontrar o ângulo interno correto:

Ângulo interno = 240º - 180º = 60º

Agora, como a pergunta pede o ângulo interno do polígono P que é formado pelas diagonais que passam pelo centro, devemos novamente multiplicar o ângulo interno por 2:

Ângulo interno = 2 × 60º = 120º × 2 = 162º

E é isso! O gabarito correto é mesmo A) 162º.