Seja um heptágono regular de lado l cuja menor diagonal vale d. O valor da maior diagonal satisfaz a qual das expressões?

Seja um heptágono regular de lado l cuja menor diagonal vale d. O valor da maior diagonal satisfaz a qual das expressões?

• E) 3l
• D) 2l
• C) √5l
• B) √3l
• A) 2√3l

Para resolver esse problema, vamos começar pela definição de heptágono regular. Um heptágono regular é um polígono com sete lados iguais, onde todos os ângulos internos são iguais entre si. Isso significa que, se você escolher um vértice do heptágono e traçar uma diagonal até o vértice oposto, você dividirá o heptágono em dois triângulos isósceles.

O próximo passo é encontrar a relação entre o lado do heptágono e a diagonal menor. Para fazer isso, vamos considerar um dos triângulos isósceles divididos pelo heptágono. Vamos chamar o lado do triângulo de l e a diagonal menor de d.

Usando a lei dos cossenos, podemos escrever a seguinte equação:

l² = l² + d² - 2 × l × d × cos(π/7)

onde π/7 é o ângulo entre o lado do triângulo e a diagonal menor.

Agora, podemos resolver essa equação para encontrar a relação entre o lado do heptágono e a diagonal menor.

d = l × √(2 - 2 × cos(π/7))

Em seguida, vamos encontrar a relação entre o lado do heptágono e a diagonal maior. Para fazer isso, vamos considerar o triângulo isósceles formado pela diagonal maior e dois lados do heptágono.

Usando a lei dos cossenos novamente, podemos escrever a seguinte equação:

D² = l² + l² - 2 × l × l × cos(2π/7)

onde D é a diagonal maior.

Agora, podemos resolver essa equação para encontrar a relação entre o lado do heptágono e a diagonal maior.

D = l × √(4 - 4 × cos(2π/7))

Finalmente, podemos simplificar essa expressão usando a identidade trigonométrica cos(2x) = 1 - 2 × sin²(x).

D = l × √(4 - 4 × (1 - 2 × sin²(π/7)))

D = l × √(8 × sin²(π/7))

D = 2 × l × √(2 × sin²(π/7))

D = 2 × l × √(1 - cos(π/7))

D = 2√3 × l

Portanto, a resposta certa é A) 2√3l.