Um quadrilátero ABCD possui fixos os vértices A(12,0), B(0,0) e D(16,8). O comprimento do lado BC permanece constante e igual a 4 unidades. Sabendo-se que o lugar geométrico (conjunto de pontos que seguem determinada regra) do ponto médio do segmento de reta que liga os pontos médios das diagonais AC e BD é uma circunferência, o par ordenado do centro desta circunferência, bem como o seu raio são, respectivamente: 

Um quadrilátero ABCD possui fixos os vértices A(12,0), B(0,0) e D(16,8). O comprimento do lado BC permanece constante e igual a 4 unidades. Sabendo-se que o lugar geométrico (conjunto de pontos que seguem determinada regra) do ponto médio do segmento de reta que liga os pontos médios das diagonais AC e BD é uma circunferência, o par ordenado do centro desta circunferência, bem como o seu raio são, respectivamente:

• A)C(14, -1) e R = 10
• B)C(7,2) e R = 1
• C)C(-1,0) e R = 2
• D)C(8,4) e R = 4
• E)C(6,2) e R = 16

Para encontrarmos a resposta correta, vamos analisar as propriedades do quadrilátero ABCD. Como o lado BC tem comprimento constante e igual a 4 unidades, podemos concluir que o ponto C se move sobre uma circunferência de centro B e raio 4. Além disso, como o lugar geométrico do ponto médio do segmento de reta que liga os pontos médios das diagonais AC e BD é uma circunferência, podemos concluir que o centro desta circunferência é o ponto médio do segmento de reta que liga os pontos médios das diagonais AC e BD.

Vamos calcular o ponto médio do segmento de reta que liga os pontos médios das diagonais AC e BD. O ponto médio da diagonal AC é o ponto (6,0), que é a média dos pontos A e C. Já o ponto médio da diagonal BD é o ponto (8,4), que é a média dos pontos B e D. O segmento de reta que liga esses dois pontos tem como ponto médio o ponto (7,2).

Portanto, o centro da circunferência é o ponto (7,2). Além disso, como o raio da circunferência é a distância entre o centro e um dos pontos médios das diagonais, temos que o raio é igual a 1 unidade.

Logo, a resposta correta é a opção B)C(7,2) e R = 1.

É importante notar que essa questão envolve conceitos de geometria analítica, como coordenadas cartesianas e equações de circunferências, além de propriedades geométricas dos quadriláteros. Além disso, é fundamental ter habilidade em resolver problemas que envolvem lugar geométrico e relacioná-los com conceitos de geometria.

Em resumo, a questão apresentada é um exemplo de como a matemática pode ser aplicada em problemas geométricos, e como a compreensão dos conceitos e propriedades geométricas pode levar à resolução de problemas complexos.