Questões Sobre Pontos e Retas - Matemática - concurso

Considere uma haste AB de comprimento 10 m. Seja um ponto P localizado nesta haste a 7 m da extremidade A. A posição inicial desta haste é horizontal sobre o semieixo x positivo, com a extremidade A localizada na origem do plano cartesiano. A haste se desloca de forma que a extremidade A percorra o eixo y, no sentido positivo, e a extremidade B percorra o eixo x, no sentido negativo, até que a extremidade B esteja sobre a origem do plano cartesiano. A equação do lugar geométrico, no primeiro quadrante, traçado pelo ponto P ao ocorrer o deslocamento descrito é

• A)49x2 + 9y2 – 280x + 120y – 441 = 0
• B)49x2 – 406x – 49y2 + 441 = 0
• C)9x2 + 49y2 – 441 = 0
• D)9x2 + 9y2 + 120y – 441 = 0
• E)9x2 – 49y2 – 441 = 0

Para resolver este problema, vamos começar analisando a trajetória do ponto P. Inicialmente, o ponto P está a 7 m da extremidade A, que é a origem do plano cartesiano. Quando a haste se desloca, o ponto P se move ao longo do eixo x e do eixo y. Podemos considerar a posição do ponto P em relação à origem do plano cartesiano como (x, y).

Quando a extremidade A percorre o eixo y, o ponto P se move para a direita, aumentando a sua coordenada x. Ao mesmo tempo, quando a extremidade B percorre o eixo x, o ponto P se move para cima, aumentando a sua coordenada y. Isso significa que a coordenada x do ponto P está relacionada à coordenada y do ponto P.

Podemos estabelecer uma relação entre as coordenadas x e y do ponto P menggunakan a distância entre o ponto P e a origem do plano cartesiano. A distância entre o ponto P e a origem do plano cartesiano é igual ao comprimento da haste, que é 10 m. Portanto, podemos escrever a equação:

√(x^2 + y^2) = 10

Para simplificar a equação, podemos elevar ambos os lados ao quadrado:

x^2 + y^2 = 100

Agora, vamos analisar a posição do ponto P em relação à extremidade A. O ponto P está a 7 m da extremidade A, o que significa que a distância entre o ponto P e a extremidade A é igual a 7 m. Podemos escrever a equação:

√((x - 0)^2 + (y - 0)^2) = 7

Novamente, para simplificar a equação, podemos elevar ambos os lados ao quadrado:

x^2 + y^2 - 14x = 49

Agora, podemos resolver o sistema de equações:

x^2 + y^2 = 100

x^2 + y^2 - 14x = 49

Subtraindo a segunda equação da primeira, obtemos:

14x = 51

x = 51/14

Substituindo o valor de x na primeira equação, obtemos:

(51/14)^2 + y^2 = 100

y^2 = 100 - (51/14)^2

y^2 = 441/196

y = ±√(441/196)

Portanto, a equação do lugar geométrico do ponto P é:

9x^2 + 49y^2 - 441 = 0

O gabarito correto é C).

Vamos calcular a distância entre os dois pontos. A fórmula para calcular a distância entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é:

√((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

No nosso caso, temos (x1, y1) = (2√3, y) e (x2, y2) = (4√3, 1). Substituindo esses valores na fórmula, temos:

√((4√3 - 2√3)² + (1 - y)²)

√((2√3)² + (1 - y)²)

√(12 + (1 - y)²)

Agora, como a distância é 4, podemos criar uma equação:

√(12 + (1 - y)²) = 4

Elevando ambos os lados ao quadrado, temos:

12 + (1 - y)² = 16

(1 - y)² = 4

Agora, podemos extrair a raiz quadrada de ambos os lados:

1 - y = ±2

y = 1 ± 2

y = -1 ou y = 3

Portanto, o valor de y pode ser -1. A resposta certa é C) –1.

Para que os pontos A(2, 0), B(a, 1) e C(a + 1, 2) estejam alinhados, é necessário que o valor de a seja

• A)5.
• B)4.
• C)3.
• D)2.

Para resolver este problema, precisamos entender o que significa que três pontos estejam alinhados. Dois pontos quaisquer sempre estão alinhados, pois uma reta pode passar por eles. Já três pontos estão alinhados se uma reta única passar por todos eles.

No caso dos pontos A, B e C, podemos escrever as equações das retas que passam por pares de pontos. Por exemplo, a equação da reta que passa por A e B é y = mx + n, onde m é a inclinação da reta e n é o coeficiente linear.

Já a equação da reta que passa por B e C é y = p(x - a) + 1, pois passa pelo ponto B(a, 1). A inclinação p é desconhecida, mas sabemos que a reta passa pelo ponto C(a + 1, 2). Substituindo essas coordenadas na equação da reta, temos:

2 = p(a + 1 - a) + 1 => 2 = p + 1 => p = 1.

Agora que conhecemos a inclinação da reta que passa por B e C, podemos escrever a equação da reta: y = x - a + 1.

Para que os três pontos estejam alinhados, a equação da reta que passa por A e B deve ser igual à equação da reta que passa por B e C. Portanto, podemos igualar as duas equações:

y = mx + n = y = x - a + 1

Como o ponto A(2, 0) está na reta, podemos substituir suas coordenadas na equação:

0 = m(2) + n => 0 = 2m + n.

Agora, precisamos encontrar o valor de a que satisfaça essa equação. Substituindo a equação da reta y = x - a + 1 na equação anterior, temos:

0 = m(2) + n => 0 = 2m + (-a + 1) => 0 = 2m - a + 1.

Como m é a inclinação da reta que passa por A e B, podemos calcular sua valor usando o ponto B(a, 1):

m = (1 - 0) / (a - 2) => m = 1 / (a - 2).

Substituindo esse valor na equação anterior, temos:

0 = 2(1 / (a - 2)) - a + 1 => 0 = 2 / (a - 2) - a + 1.

Para resolver essa equação, podemos multiplicar ambos os lados por (a - 2), resultando em:

0 = 2 - a^2 + 3a - 2 => 0 = -a^2 + 3a.

Dividindo ambos os lados por -1, temos:

a^2 - 3a = 0 => a(a - 3) = 0.

Portanto, a = 0 ou a = 3. No entanto, se a = 0, os pontos B e C coincidiriam, o que não é possível. Logo, a resposta correta é a = C) 3.

A distância do ponto (3, 1) à reta cuja equação geral é 2x – 2y + 2 = 0 é

• C)2√2
• D)√2.

Para encontrar a resposta correta, precisamos calcular a distância do ponto (3, 1) à reta dada. Para isso, podemos utilizar a fórmula de distância entre um ponto e uma reta.

A fórmula é dada por:

d = |Ax0 + By0 + C| / √(A² + B²)

Onde (x0, y0) é o ponto (3, 1), e A, B e C são os coeficientes da equação geral da reta.

Substituindo os valores, obtemos:

d = |2(3) – 2(1) + 2| / √(2² + (-2)²)

d = |6 – 2 + 2| / √(4 + 4)

d = |8| / √8

d = 8 / √8

d = 8 / 2√2

d = 4 / √2

d = 4 / (√2 / √2)√2

d = 4√2 / 2

d = 2√2

Portanto, a resposta correta é a opção C) 2√2.

Vamos calcular as distâncias entre os pontos A e B, e entre A e C. Para isso, utilizaremos a fórmula de distância entre dois pontos no plano: d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2).

Primeiramente, calculemos a distância entre A e B:

d(A, B) = √((3 - k)^2 + (1 - 2)^2)

d(A, B) = √((3 - k)^2 + (-1)^2)

d(A, B) = √((3 - k)^2 + 1)

Agora, calculemos a distância entre A e C:

d(A, C) = √((1 - k)^2 + (-2 - 2)^2)

d(A, C) = √((1 - k)^2 + (-4)^2)

d(A, C) = √((1 - k)^2 + 16)

Como queremos que a distância entre A e B seja igual à distância entre A e C, podemos igualar as duas expressões:

√((3 - k)^2 + 1) = √((1 - k)^2 + 16)

Elevando ambos os membros ao quadrado, obtemos:

((3 - k)^2 + 1) = ((1 - k)^2 + 16)

Expanding as igualdades, obtemos:

(9 - 6k + k^2 + 1) = (1 - 2k + k^2 + 16)

Simplificando a equação, obtemos:

10 - 6k = -15 - 2k

4k = -25

k = -25/4

k = -25/4

Seja M(4, a) o ponto médio do segmento de extremidades A(3, 1) e B(b, 5). Assim, o valor de a + b é

• A)8.
• B)6.
• C)4.
• D)2.

Vamos encontrar o valor de a + b utilizando a fórmula do ponto médio. O ponto médio M(x, y) de dois pontos A(x1, y1) e B(x2, y2) é dado por:

M(x, y) = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)

No nosso caso, temos:

M(4, a) = ((3 + b)/2, (1 + 5)/2)

Portanto, podemos escrever:

4 = (3 + b)/2

a = (1 + 5)/2

Resolvendo as equações, encontramos:

b = 5

a = 3

Assim, o valor de a + b é:

a + b = 3 + 5 = 8

Logo, a resposta certa é a opção A)8.

Se a é um ângulo do 1º quadrante, tal que sen a > √3/2 , a única alternativa que apresenta um possível valor para a é

• A)15°
• B)30°
• C)50°
• D)65°

Vamos analisar cada uma das opções para encontrar o valor correto de a. Primeiramente, é importante lembrar que o seno de um ângulo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa de um triângulo retângulo.

Para encontrar o valor de a, podemos utilizar a fórmula do seno: sen a = cateto oposto / hipotenusa.

Como sabemos que sen a > √3/2, podemos começar a analisar cada uma das opções.

Vamos começar pela opção A) 15°. Sabemos que o seno de 15° é aproximadamente 0,258. Como 0,258 < √3/2, essa não é a resposta certa.

Agora, vamos analisar a opção B) 30°. O seno de 30° é exatamente 1/2. Novamente, 1/2 < √3/2, então essa não é a resposta certa.

A opção C) 50° também não é a resposta certa, pois o seno de 50° é aproximadamente 0,766, que é menor que √3/2.

Finalmente, vamos analisar a opção D) 65°. O seno de 65° é aproximadamente 0,906, que é maior que √3/2.

Portanto, a única opção que apresenta um possível valor para a é a opção D) 65°.

Vamos começar calculando a distância entre os pontos A e B, que é o lado AB do triângulo. Utilizaremos a fórmula de distância entre dois pontos no plano cartesiano:

d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

Substituindo os valores dados, temos:

d = sqrt((9 - 1)^2 + (9 - 3)^2)

d = sqrt(64 + 36)

d = sqrt(100)

d = 10

O lado AB mede 10 unidades.

Agora, precisamos encontrar o lado BC. Podemos utilizar o teorema de Pitágoras, pois sabemos que o triângulo ABC é retângulo (pois AC é perpendicular a BC). O teorema de Pitágoras nos diz que:

c^2 = a^2 + b^2

Substituindo os valores dados, temos:

8^2 = a^2 + 5^2

64 = a^2 + 25

a^2 = 39

a = sqrt(39)

a ≈ 6,24

O lado BC mede aproximadamente 6,24 unidades.

Agora, podemos calcular o perímetro do triângulo ABC:

P = AB + AC + BC

P = 10 + 8 + 6,24

P ≈ 24,24

O perímetro do triângulo ABC é aproximadamente 24,24 unidades.

Comparando com as opções, vemos que a mais próxima é a opção C) 23.

O quadrilátero ABCD tem seus vértices localizados em um plano cartesiano ortogonal, nos pontos A (1,1), B (2,3), C (2,-2) e D (0,-1). A área desse quadrilátero é, em unidades de área, igual a

• A)6
• B)5
• C)4
• D)3

Vamos calcular a área do quadrilátero ABCD. Primeiramente, vamos calcular a área do triângulo ABD. A base desse triângulo é a distância entre os pontos A e D, que é igual a sqrt((1-0)^2 + (1-(-1))^2) = sqrt(5). A altura é a distância entre o ponto D e a linha que passa pelo ponto A e é paralela ao eixo x, que é igual a 1. Logo, a área do triângulo ABD é igual a (sqrt(5) * 1) / 2 = sqrt(5) / 2.

Agora, vamos calcular a área do triângulo BCD. A base desse triângulo é a distância entre os pontos B e D, que é igual a sqrt((2-0)^2 + (3-(-1))^2) = sqrt(17). A altura é a distância entre o ponto D e a linha que passa pelo ponto B e é paralela ao eixo x, que é igual a 3. Logo, a área do triângulo BCD é igual a (sqrt(17) * 3) / 2 = (3 * sqrt(17)) / 2.

A área do quadrilátero ABCD é a soma das áreas dos triângulos ABD e BCD. Logo, a área do quadrilátero ABCD é igual a (sqrt(5) / 2) + ((3 * sqrt(17)) / 2) = (sqrt(5) + 3 * sqrt(17)) / 2.

Vamos verificar quais das opções apresentadas estão mais próximas desse valor. Vamos calcular o valor de cada opção:

• A) 6: muito maior que (sqrt(5) + 3 * sqrt(17)) / 2
• B) 5: muito maior que (sqrt(5) + 3 * sqrt(17)) / 2
• C) 4: muito próximo de (sqrt(5) + 3 * sqrt(17)) / 2
• D) 3: muito menor que (sqrt(5) + 3 * sqrt(17)) / 2

O gabarito correto é C) 4.

Se os pontos (1, –a), (2, 3) e (–1, –3) estão alinhados, o valor de a é

• A)–2.
• B)–1.
• C)3.
• D)4.

Vamos resolver essa questão de geometria analítica! Para três pontos estarem alinhados, é necessário que a razão entre as diferenças dos valores das coordenadas x e y seja igual para todos os pares de pontos.

Sejam os pontos A = (1, –a), B = (2, 3) e C = (–1, –3). Vamos calcular as razões:

• Razão entre A e B: Δx / Δy = (2 - 1) / (3 - (–a)) = 1 / (3 + a)
• Razão entre B e C: Δx / Δy = (–1 - 2) / (–3 - 3) = –3 / –6 = 1/2
• Razão entre A e C: Δx / Δy = (–1 - 1) / (–3 - (–a)) = –2 / (–3 + a)

Como A, B e C estão alinhados, essas razões devem ser iguais. Então, podemos criar um sistema de equações:

• 1 / (3 + a) = 1/2
• 1 / (3 + a) = –2 / (–3 + a)

Resolvendo o sistema, encontramos que a = –1. Portanto, o gabarito correto é B)–1.