Questões Sobre Pontos e Retas - Matemática - concurso

Vamos encontrar a equação da reta passando pelos pontos (1, 4) e (t, 5). Para isso, utilizamos a fórmula da equação de uma reta que passa por dois pontos:

y - y1 = m(x - x1)

Onde m é a inclinação da reta, (x1, y1) é um ponto da reta e (x, y) é outro ponto qualquer da reta.

Substituindo os valores dos pontos (1, 4) e (t, 5) na fórmula, obtemos:

5 - 4 = m(t - 1)

1 = m(t - 1)

m = 1 / (t - 1)

Agora, vamos encontrar a equação da reta passando pelos pontos (t, 5) e (-1, t). Utilizamos novamente a fórmula da equação de uma reta que passa por dois pontos:

y - y1 = m(x - x1)

Onde m é a inclinação da reta, (x1, y1) é um ponto da reta e (x, y) é outro ponto qualquer da reta.

Substituindo os valores dos pontos (t, 5) e (-1, t) na fórmula, obtemos:

t - 5 = m(-1 - t)

t - 5 = -m(1 + t)

m = -(t - 5) / (1 + t)

Como as duas retas são a mesma, as inclinações são iguais. Portanto, podemos igualar as duas expressões de m:

1 / (t - 1) = -(t - 5) / (1 + t)

Resolvendo essa equação, obtemos:

t^2 - 6t + 4 = 0

(t - 2)(t - 4) = 0

t = 2 ou t = 4

A soma dos possíveis valores de t é:

t = 2 + 4 = 6

Vamos calcular a distância entre A e B utilizando a fórmula de distância entre dois pontos no plano cartesiano:

D(A, B) = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

Substituindo os valores dos pontos A e B, temos:

D(A, B) = √((2 - (-2))^2 + (-1 - 2)^2)

D(A, B) = √((4)^2 + (-3)^2)

D(A, B) = √(16 + 9)

D(A, B) = √25

D(A, B) = 5

Agora, vamos calcular a distância entre B e C utilizando a mesma fórmula:

D(B, C) = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

Substituindo os valores dos pontos B e C, temos:

D(B, C) = √((5 - 2)^2 + (k - (-1))^2)

D(B, C) = √((3)^2 + (k + 1)^2)

D(B, C) = √(9 + (k + 1)^2)

Como a distância entre A e B é a mesma que a entre B e C, podemos igualar as duas expressões:

√25 = √(9 + (k + 1)^2)

Elevando ao quadrado ambos os membros da equação, temos:

25 = 9 + (k + 1)^2

Subtraindo 9 de ambos os membros da equação, temos:

16 = (k + 1)^2

Tirando a raiz quadrada de ambos os membros da equação, temos:

±4 = k + 1

Subtraindo 1 de ambos os membros da equação, temos:

k = -1 ± 4

Portanto, os valores possíveis de k são -5 e 3. A soma desses valores é:

-5 + 3 = -2

Logo, a resposta correta é D) -2.

As retas y = kx + 2 e y = –x + m interceptam-se no ponto (1, 4). Assim, o valor de k + m é

• A)8.
• B)7.
• C)6.
• D)5.

Para resolver esse problema, precisamos encontrar os valores de k e m. Para isso, vamos usar o fato de que as retas se interceptam no ponto (1, 4). Substituindo x = 1 e y = 4 nas equações das retas, obtemos:

y = kx + 2
4 = k(1) + 2
4 = k + 2
k = 2

e

y = –x + m
4 = –(1) + m
4 = –1 + m
m = 5

Agora que encontramos os valores de k e m, podemos calcular k + m:

k + m = 2 + 5
k + m = 7

Portanto, o valor de k + m é 7, que é a alternativa B.

O gabarito correto é B)7.

Para encontrar a resposta certa, vamos começar analisando a função polinomial do segundo grau. Sabe-se que a equação geral de uma função polinomial do segundo grau é dada por:

y = ax² + bx + c

Onde a, b e c são constantes reais. Além disso, sabemos que o vértice da parábola está localizado no ponto (5, 2), portanto, podemos escrever:

x_v = -b / 2a = 5

y_v = c - b² / 4a = 2

Agora, como a função passa pelo ponto (4, 3), podemos escrever:

3 = a(4)² + b(4) + c

Substituindo as coordenadas do vértice, temos:

2 = a(5)² + b(5) + c

Portanto, podemos resolver o sistema de equações acima para encontrar os valores de a, b e c.

Após resolver o sistema, encontramos que a = 2, b = -20 e c = 42.

Assim, a função polinomial do segundo grau é dada por:

y = 2x² - 20x + 42

Agora, basta avaliar a função nos pontos dados nas opções para encontrar a resposta certa.

Para o ponto (1, 18), temos:

y = 2(1)² - 20(1) + 42 = 18

Para o ponto (0, 26), temos:

y = 2(0)² - 20(0) + 42 = 42 ≠ 26

Para o ponto (6, 4), temos:

y = 2(6)² - 20(6) + 42 = 4 ≠ 4

Para o ponto (-1, 36), temos:

y = 2(-1)² - 20(-1) + 42 = 36

Portanto, a resposta certa é A) (1, 18).

Um triângulo ABC foi desenhado no plano cartesiano. Considerando os pontos A (1, 2), B (–3, 1) e C (–1, –2), a área desse triangulo é, em unidade de área:

• A)6.
• B)7.
• C)9.
• D)11.

Vamos calcular a área do triângulo utilizando a fórmula de área de um triângulo no plano cartesiano, que é dada por:

Área = (1/2) |(x_A (y_B - y_C) + x_B (y_C - y_A) + x_C (y_A - y_B))|

Substituindo os valores dos pontos A, B e C, temos:

Área = (1/2) |(1 (1 - (-2)) + (-3) ((-2) - 2) + (-1) (2 - 1))|

Área = (1/2) |(1 (3) + (-3) (-4) + (-1) (1))|

Área = (1/2) |(3 + 12 - 1)|

Área = (1/2) |14|

Área = 7

Portanto, a resposta correta é a opção B) 7.

Para resolver esse problema, precisamos encontrar os pontos de intercessão das retas com os eixos x e y.

Vamos começar encontrando os pontos de intercessão com o eixo x. Para isso, basta fazer y = 0 nas equações das retas.

Na primeira reta, temos:

Subtraindo 5 de ambos os lados, temos:

Multiplicando ambos os lados por 3, temos:

Dividindo ambos os lados por 5, temos:

Portanto, o ponto de intercessão com o eixo x é (-3, 0).

Na segunda reta, temos:

Adicionando 7 a ambos os lados, temos:

Multiplicando ambos os lados por 5, temos:

Dividindo ambos os lados por 7, temos:

Portanto, o ponto de intercessão com o eixo x é (5, 0).

Agora, vamos encontrar os pontos de intercessão com o eixo y. Para isso, basta fazer x = 0 nas equações das retas.

Na primeira reta, temos:

Simplificando, temos:

Portanto, o ponto de intercessão com o eixo y é (0, 5).

Na segunda reta, temos:

Simplificando, temos:

Portanto, o ponto de intercessão com o eixo y é (0, -7).

Agora que temos os pontos de intercessão, podemos desenhar a figura formada pela ligação entre esses pontos.

A área da figura é um trapézio, que tem como bases os segmentos de reta entre os pontos (-3, 0) e (5, 0), e como altura o segmento de reta entre os pontos (0, 5) e (0, -7).

A base maior do trapézio é 5 - (-3) = 8, e a base menor é 0.

A altura do trapézio é 5 - (-7) = 12.

A área do trapézio é dada pela fórmula:

Substituindo os valores, temos:

Simplificando, temos:

Portanto, a área da figura é 48.

O gabarito correto é C) 48.

Ao mapear um teatro de operações, o comando militar situa uma área triangular ABC no plano cartesiano, com vértices nos pontos A(2,4), B(4,6) e C(6,2), sendo as distâncias em quilômetros. A área dessa região equivale a

• A) 2 km².
• B) 4 km².
• C) 6 km².
• D) 8 km².

Para resolver essa questão, precisamos calcular a área do triângulo ABC. Uma forma de fazê-lo é utilizando a fórmula da área do triângulo em coordenadas cartesianas, que é dada por:

A = (x2 - x1)(y3 - y1) - (x3 - x1)(y2 - y1) / 2

onde (x1, y1), (x2, y2) e (x3, y3) são os vértices do triângulo.

No caso do triângulo ABC, temos:

(x1, y1) = (2, 4), (x2, y2) = (4, 6) e (x3, y3) = (6, 2)

Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:

A = (4 - 2)(2 - 4) - (6 - 2)(6 - 4) / 2

A = -2 - 4 / 2

A = -2 - 2

A = 6 km²

Portanto, o gabarito correto é C) 6 km².

É importante notar que, para resolver esse tipo de questão, é fundamental ter conhecimento das fórmulas de áreas em coordenadas cartesianas e saber aplicá-las corretamente.

Além disso, é fundamental ter atenção ao sinal das áreas, pois a área de um triângulo pode ser positiva ou negativa, dependendo da orientação dos vértices.

No caso do triângulo ABC, a área é positiva, pois os vértices estão orientados no sentido horário.

Já sabemos que a área do triângulo ABC é de 6 km², podemos utilizar essa informação para resolver outros problemas que envolvam esse triângulo.

Por exemplo, se quisermos calcular a altura do triângulo ABC em relação ao lado BC, podemos utilizar a fórmula da altura de um triângulo, que é dada por:

h = 2A / b

onde A é a área do triângulo e b é o comprimento do lado BC.

No caso do triângulo ABC, temos:

b = √((6 - 4)² + (2 - 6)²) = √(2² + 4²) = √(4 + 16) = √20

h = 2(6) / √20

h = 12 / √20

h = 3 km

Portanto, a altura do triângulo ABC em relação ao lado BC é de 3 km.

Essa é apenas uma aplicação das áreas em coordenadas cartesianas, mas existem muitas outras possibilidades de aplicação em problemas de geometria e trigonometria.

Para encontrar o baricentro do triângulo, precisamos calcular a média dos valores de x e y dos vértices do triângulo.

Primeiramente, vamos calcular a média dos valores de x:

x = (1 + 3 + 5) / 3 = 9 / 3 = 3

Agora, vamos calcular a média dos valores de y:

y = (1 - 1 + 3) / 3 = 3 / 3 = 1

O baricentro do triângulo é o ponto que tem as coordenadas (x, y), portanto, o baricentro é o ponto (3, 1).

Logo, a resposta certa é:

• A)(2, 1)
• B)(3, 3)
• C)(1, 3)
• D)(3, 1)

O ponto D)(3, 1) é o baricentro do triângulo.

O triângulo ABC formado pelos pontos A(7, 3), B(-4, 3) e C(-4, -2) é

• A)escaleno
• B)isósceles
• C)equiângulo
• D)obtusângulo

Vamos analisar as características desse triângulo para descobrir qual a resposta certa.

Primeiramente, é importante lembrar que um triângulo escaleno é aquele que tem todos os lados de comprimentos diferentes. Já um triângulo isósceles é aquele que tem dois lados de comprimentos iguais.

Vamos calcular o comprimento dos lados do triângulo ABC:

• AB: √((-4-7)² + (3-3)²) = √((-11)² + 0²) = √(121 + 0) = √121
• BC: √((-4-(-4))² + (-2-3)²) = √((0)² + (-5)²) = √(0 + 25) = √25
• CA: √((7-(-4))² + (3-(-2))²) = √((11)² + (5)²) = √(121 + 25) = √146

Como podemos ver, os lados do triângulo ABC têm comprimentos diferentes. Portanto, o triângulo ABC é escaleno.

É importante notar que um triângulo equiângulo é aquele que tem todos os ângulos iguais, o que não é o caso do triângulo ABC.

Já um triângulo obtusângulo é aquele que tem um ângulo obtuso (maior que 90 graus). Para verificar se o triângulo ABC é obtusângulo, podemos calcular o produto escalar dos vetores AB e BC:

(-4-7, 3-3) · (-4-(-4), -2-3) = (-11, 0) · (0, -5) = 0

Como o produto escalar é zero, os vetores AB e BC são perpendiculares. Portanto, o ângulo ABC é reto (90 graus) e não é obtuso.

Portanto, a resposta certa é A) escaleno.

A área do triângulo cujos vértices são os pontos P = (–3, – 1), Q = (0, 0) e R = (4, 0) é igual a

• A)2
• B)4
• C)5
• D)6

O gabarito correto é A). Vamos calcular a área do triângulo para entender por que essa é a resposta certa. Primeiramente, precisamos encontrar a base e a altura do triângulo.

Como o ponto Q é o vértice de onde partem os lados PQ e QR, podemos considerar que a base do triângulo é o lado QR, que tem comprimento de 4 unidades.

Agora, precisamos encontrar a altura do triângulo. Para isso, vamos analisar o lado PQ. Como o ponto P tem coordenadas (–3, – 1) e o ponto Q tem coordenadas (0, 0), podemos calcular a diferença entre as coordenadas y dos dois pontos para encontrar a altura do triângulo.

A altura do triângulo é, portanto, igual a |– 1 – 0| = 1 unidade.

Agora que temos a base e a altura do triângulo, podemos calcular a área utilizando a fórmula: área = (base × altura) / 2.

Substituindo os valores, temos: área = (4 × 1) / 2 = 4 / 2 = 2.

Portanto, a área do triângulo é igual a 2 unidades quadradas, que é a opção A).

Essa é uma técnica comum para calcular a área de um triângulo quando os vértices são conhecidos. Lembre-se de que a base e a altura devem ser perpendiculares entre si para que a fórmula seja válida.

Além disso, é importante lembrar que a área do triângulo é sempre um valor positivo, pois é uma medida de quantidade. Portanto, se você calcular um valor negativo, é porque há algo errado no seu cálculo.

Espero que essa explicação tenha ajudado a entender como calcular a área de um triângulo. Se tiver alguma dúvida ou precisar de mais ajuda, não hesite em perguntar!