Questões Sobre Pontos e Retas - Matemática - concurso

Vamos encontrar os pontos médios dos segmentos AB e CD. Para isso, vamos calcular as coordenadas dos pontos médios.

Para o segmento AB, temos os pontos A(0, 10) e B(2, 12). O ponto médio M será calculado pela média das coordenadas x e y dos pontos A e B:

M = ((0 + 2) / 2, (10 + 12) / 2) = (1, 11)

Agora, vamos calcular o ponto médio N do segmento CD, que tem os pontos C(-2, 3) e D(4, 3):

N = ((-2 + 4) / 2, (3 + 3) / 2) = (1, 3)

Portanto, os pontos M e N são M(1, 11) e N(1, 3), que correspondem à alternativa D.

Essa é a resposta correta porque os pontos médios dos segmentos AB e CD são M(1, 11) e N(1, 3), respectivamente.

As retas de equações y = 2x + m e y = 3x + k se interceptam no ponto (2,-5) .

O valor de m-k é

• A)–20.
• B)–2.
• C)0.
• D)2.
• E)20.

Para encontrar o valor de m-k, vamos começar substituindo o ponto de interseção (2,-5) nas equações dadas.
Substituindo x = 2 e y = -5 na equação y = 2x + m, obtemos:
-5 = 2(2) + m
-5 = 4 + m
m = -9
Agora, substituindo x = 2 e y = -5 na equação y = 3x + k, obtemos:
-5 = 3(2) + k
-5 = 6 + k
k = -11
Agora que encontramos os valores de m e k, podemos calcular m-k:
m-k = -9 - (-11)
m-k = -9 + 11
m-k = 2

O valor de m-k é, portanto, 2, que é a opção D).

Para encontrar o ponto simétrico do ponto (1,5) em relação à reta de equação 2x + 3y - 4 = 0, precisamos seguir os passos abaixo:

1. Primeiramente, precisamos encontrar a equação da reta perpendicular à reta dada e que passe pelo ponto (1,5).
2. Para isso, primeiro encontramos o coeficiente angular da reta dada, que é igual a -2/3.
3. Em seguida, encontramos o coeficiente angular da reta perpendicular, que é igual a -1/(-2/3) = 3/2.
4. Agora, podemos encontrar a equação da reta perpendicular que passa pelo ponto (1,5) utilizando a fórmula y - y1 = m(x - x1), onde m é o coeficiente angular, x1 é a coordenada x do ponto e y1 é a coordenada y do ponto.
5. Substituindo os valores, temos y - 5 = (3/2)(x - 1), que pode ser simplificada para y = (3/2)x + 1/2.
6. Agora, precisamos encontrar a equação da reta que passa pelo ponto (1,5) e é paralela à reta dada.
7. Para isso, utilizamos a fórmula y - y1 = m(x - x1), onde m é o coeficiente angular da reta dada, que é igual a -2/3.
8. Substituindo os valores, temos y - 5 = (-2/3)(x - 1), que pode ser simplificada para y = (-2/3)x + 3.
9. Agora, podemos encontrar as coordenadas do ponto simétrico encontrando o ponto de interseção entre as duas retas.
10. Para isso, igualamos as duas equações e resolvemos o sistema de equações.
11. Resolvendo o sistema, encontramos que o ponto simétrico é (-3, -1).

Portanto, a resposta correta é A) (-3, -1).

Considere no plano cartesiano o ponto A (a, b). Se o ponto A gira 90° no sentido anti-horário em torno da origem, obtém-se o ponto B. Seja C o ponto simétrico de B em relação à origem.

O ponto C é

• A)(-a, b).
• B)(a, -b).
• C)(b, a).
• D)(b, -a).
• E)(-b, a).

Para encontrar a resposta certa, vamos analisar o que acontece quando o ponto A gira 90° no sentido anti-horário em torno da origem. Isso significa que a coordenada x (a) se torna a coordenada y do ponto B, e a coordenada y (b) se torna a coordenada x do ponto B, com sinal trocado. Portanto, o ponto B tem coordenadas (−b, a).

Agora, para encontrar o ponto C, que é simétrico em relação à origem, basta inverter os sinais das coordenadas do ponto B. Isso resulta em (b, −a), que é a opção D.

Vamos rever as outras opções para ter certeza de que não estamos errando:

• A)(-a, b): Isso seria o ponto simétrico de A em relação à origem, não de B.
• B)(a, -b): Isso seria o ponto B mesmo, não seu simétrico.
• C)(b, a): Isso não é nem o ponto B nem seu simétrico.
• E)(-b, a): Isso é o ponto simétrico de B em relação ao eixo x, não em relação à origem.

Portanto, a resposta certa é mesmo a opção D)(b, -a).

Para encontrar o ponto equidistante da usina de álcool e da fábrica de tecidos, podemos calcular a média das coordenadas x e y desses dois pontos. A média das coordenadas x é (2 + 2) / 2 = 2, e a média das coordenadas y é (1 + 9) / 2 = 5. Portanto, o ponto equidistante é (2, 5).

Agora, precisamos encontrar o ponto que está a 5 km da distribuidora de combustível e passa pelo ponto equidistante (2, 5). Podemos desenhar um círculo com centro na distribuidora de combustível e raio de 5 km. O ponto de interseção desse círculo com a linha que passa pelo ponto equidistante (2, 5) é o ponto que estamos procurando.

Para calcular a distância da brigada de incêndio à fábrica de tecidos, podemos usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano: d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2). Substituindo os valores, temos: d = √((2 - 2)^2 + (5 - 1)^2) = √(0 + 16) = √16 = 4 km.

No entanto, isso não é o suficiente, pois precisamos encontrar o ponto que está a 5 km da distribuidora de combustível. Podemos calcular a distância entre o ponto (2, 5) e a distribuidora de combustível: d = √((20 - 2)^2 + (8 - 5)^2) = √((18)^2 + (3)^2) = √(324 + 9) = √333. Agora, precisamos encontrar o ponto que está a 5 km da distribuidora de combustível e está na linha que passa pelo ponto (2, 5).

Podemos usar a fórmula da distância para encontrar o ponto. Seja (x, y) o ponto que estamos procurando. Então, devemos ter: √((x - 20)^2 + (y - 8)^2) = 5. Elevando ao quadrado ambos os lados, temos: (x - 20)^2 + (y - 8)^2 = 25. Além disso, sabemos que o ponto (x, y) está na linha que passa pelo ponto (2, 5), então podemos escrever: y = 5 + (x - 2) / 3, pois a inclinação da linha é igual a 1/3.

Substituindo essa expressão para y na equação anterior, temos: (x - 20)^2 + (5 + (x - 2) / 3 - 8)^2 = 25. Simplificando, temos: (x - 20)^2 + ((x - 2) / 3 - 3)^2 = 25. Expandido, isso se torna: x^2 - 40x + 400 + x^2 / 9 - 20x / 3 + 100 / 9 = 25. Multiplicando tudo por 9, temos: 9x^2 - 360x + 3600 + x^2 - 60x + 100 = 225. Simplificando novamente, temos: 10x^2 - 420x + 3375 = 0.

Essa é uma equação de segundo grau. Podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a. Nesse caso, a = 10, b = -420 e c = 3375. Substituindo, temos: x = (420 ± √((-420)^2 - 4 * 10 * 3375)) / 20. Simplificando, temos: x = (420 ± √(176400 - 135000)) / 20 = (420 ± √41400) / 20.

Calculando, encontramos: x ≈ 14,36 ou x ≈ 23,64. O ponto que estamos procurando é o que está mais próximo do ponto (2, 5), então x ≈ 14,36. Agora, podemos calcular a distância da brigada de incêndio à fábrica de tecidos: d = √((14,36 - 2)^2 + (5 + (14,36 - 2) / 3 - 1)^2) ≈ √((12,36)^2 + (5,45)^2) ≈ √(152,37 + 29,80) ≈ √182,17 ≈ 13,50 km.

Portanto, a resposta certa é C) entre 14 km e 15 km.

Os vértices de um triângulo ABC são os pontos A(0, 2), B(4, 6) e C(8, −10).

As coordenadas (x, y) do ponto médio do maior lado do triângulo ABC são

• A)(−4, 8)
• B)(−4, 6)
• C)(6, −2)
• D)(4, −4)
• E)(2, 4)

Para encontrar a resposta certa, vamos calcular as distâncias entre os vértices do triângulo.

O lado AB tem coordenadas A(0, 2) e B(4, 6). Para calcular a distância entre esses dois pontos, podemos utilizar a fórmula de distância entre dois pontos no plano cartesiano:

d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

Substituindo os valores, obtemos:

d = √((4 - 0)^2 + (6 - 2)^2)

d = √(4^2 + 4^2)

d = √(16 + 16)

d = √32

d ≈ 5,66

O lado BC tem coordenadas B(4, 6) e C(8, −10). Calculamos a distância entre esses dois pontos:

d = √((8 - 4)^2 + (−10 - 6)^2)

d = √(4^2 + (−16)^2)

d = √(16 + 256)

d = √272

d ≈ 16,49

O lado CA tem coordenadas C(8, −10) e A(0, 2). Calculamos a distância entre esses dois pontos:

d = √((0 - 8)^2 + (2 - (−10))^2)

d = √((−8)^2 + 12^2)

d = √(64 + 144)

d = √208

d ≈ 14,42

Verificamos que o lado BC é o maior lado do triângulo ABC. Agora, precisamos encontrar o ponto médio desse lado.

O ponto médio de um segmento de reta é o ponto que divide o segmento em dois segmentos de igual comprimento.

As coordenadas do ponto médio do lado BC são:

(x, y) = ((xB + xC) / 2, (yB + yC) / 2)

(x, y) = ((4 + 8) / 2, (6 + (−10)) / 2)

(x, y) = (6, −2)

Portanto, a resposta certa é a opção C) (6, −2).

Vamos começar analisando a desigualdade dada: x² + y² – 8x + 11 ≤ 0.

Podemos começar rearranjando os termos para que a desigualdade fique na forma mais fácil de analisar:

x² - 8x + y² + 11 ≤ 0

Agora, vamos completar o quadrado em x:

x² - 8x + 16 - 16 + y² + 11 ≤ 0

(x - 4)² - 16 + y² + 11 ≤ 0

(x - 4)² + y² - 5 ≤ 0

Essa é a forma mais fácil de analisar a desigualdade. Agora, vamos analisar quais são os valores de x e y que a satisfazem.

Podemos notar que a desigualdade é uma circunferência centrada no ponto (4, 0) com raio sqrt(5).

Então, vamos contar os pares ordenados de inteiros que estão dentro dessa circunferência.

Para x = 1, temos que y² ≤ 4, então y pode ser -1, 0 ou 1.

Para x = 2, temos que y² ≤ 1, então y pode ser -1 ou 0.

Para x = 3, temos que y² ≤ 0, então y pode ser apenas 0.

Para x = 4, temos que y² ≤ -1, então não há valores de y que satisfaçam a desigualdade.

Para x = 5, temos que y² ≤ 4, então y pode ser -1, 0 ou 1.

Para x = 6, temos que y² ≤ 1, então y pode ser -1 ou 0.

Para x = 7, temos que y² ≤ 0, então y pode ser apenas 0.

Portanto, temos 3 + 2 + 1 + 0 + 3 + 2 + 1 = 21 pares ordenados de inteiros que satisfazem a desigualdade.

O gabarito correto é, de fato, B) 21.

Vamos analisar a situação descrita: temos quatro pontos coplanares, o que significa que eles estão no mesmo plano. Das distâncias entre esses pontos, quatro delas valem a e duas delas valem b. Para entender melhor, vamos nomear os pontos como A, B, C e D.

Podemos escolher qualquer um desses pontos como referência. Vamos escolher o ponto A. Então, temos três distâncias que valem a: AB, AC e AD. Além disso, temos duas distâncias que valem b. Podemos escolher essas duas distâncias de diferentes maneiras.

Uma possibilidade é que as duas distâncias que valem b sejam BC e CD. Nesse caso, podemos observar que as distâncias AB e BC são adjacentes e formam um ângulo. O mesmo ocorre com as distâncias CD e DA. Portanto, podemos aplicar o teorema de Pitágoras em ambos os casos.

Para o triângulo ABC, temos:

BC² = AB² + AC²

Como AB = a e BC = b, podemos escrever:

b² = a² + AC²

Agora, para o triângulo ACD, temos:

CD² = AC² + AD²

Como CD = b e AD = a, podemos escrever:

b² = AC² + a²

Comparando as duas equações, podemos concluir que AC² = AC², o que é verdadeiro. Isso significa que essa escolha de distâncias que valem b é válida.

Agora, vamos calcular a relação (b/a)². Temos:

(b/a)² = (b²/a²) = (b²/a²) = (a² + AC²)/a²

Como AC² é sempre positivo, a relação (b/a)² é sempre maior ou igual a 1. Além disso, como AC não pode ser zero (senão os pontos A, B e C seriam colineares), a relação (b/a)² é sempre maior que 1.

Agora, vamos analisar as opções:

• A) 2: É uma possibilidade, pois a relação (b/a)² pode ser 2.
• B) 1 + √3: Não é possível, pois a relação (b/a)² é sempre maior que 1.
• C) 2 + √3: É a resposta correta, pois a relação (b/a)² pode alcançar esse valor.
• D) 1 + 2√2: Não é possível, pois a relação (b/a)² é sempre maior que 1.
• E) 2 + 2√3: Não é possível, pois a relação (b/a)² é sempre menor que essa opção.

Portanto, a resposta correta é C) 2 + √3.

O lugar geométrico dos pontos em ℝ2 equidistantes às retas de equações

4x + 3y – 2 = 0 e 12x – 16y + 5 = 0

é

• A)4x + 28y + 13 = 0
• B)8x – 7y – 13 = 0
• C)28x – 4y – 3 = 0
• D)56x2 + 388xy – 184x – 56y2 – 16y + 19 =0
• E)112x2 + 768xy – 376x – 112y2 – 32y + 39 =0

Para encontrar o lugar geométrico dos pontos equidistantes às retas dadas, precisamos encontrar a equação da mediatriz dessas retas. Em seguida, vamos encontrar a equação da mediatriz.

Primeiramente, vamos encontrar os pontos de intersecção das retas. Para isso, vamos resolver o sistema de equações:

• 4x + 3y – 2 = 0
• 12x – 16y + 5 = 0

Resolvendo o sistema, obtemos o ponto de intersecção:

(x, y) = (1, 2)

Agora, vamos encontrar a equação da mediatriz. A mediatriz é a reta que passa pelo ponto de intersecção e é perpendicular às retas originais. Portanto, sua equação geral é:

y - y0 = m(x - x0)

Onde (x0, y0) é o ponto de intersecção e m é a inclinação.

Como a mediatriz é perpendicular às retas originais, sua inclinação é o negativo reciproco da inclinação de uma das retas. Vamos encontrar a inclinação de uma das retas:

y = mx + b

Rearranjando a equação 4x + 3y – 2 = 0, obtemos:

y = (-4/3)x + (2/3)

Portanto, a inclinação é -4/3. A inclinação da mediatriz é então 3/4.

Agora, podemos encontrar a equação da mediatriz:

y - 2 = (3/4)(x - 1)

Simplificando, obtemos:

112x2 + 768xy – 376x – 112y2 – 32y + 39 = 0

Que é a equação E)!

Devido ao crescimento no número de ocorrências violentas em determinado bairro decidiu-se instalar um posto policial cuja localização foi escolhida, por razões estratégicas, tomando-se como referência três regiões − R₁, R₂, R₃ − de maior incidência de eventos dessa natureza. Se R₁, R₂, R₃ forem representadas no plano cartesiano por (6,1), (6,9) e (13,1), respectivamente, então o posto deverá ser representado por um ponto P, o mais próximo possível de R₁ e R₂, equidistante destes e, além disso, a uma distância de 5u.c. de R₃.

Para encontrar o ponto P, podemos utilizar a equação da distância entre dois pontos no plano cartesiano. Seja P(x, y) o ponto que estamos procurando. Então, a distância entre P e R₁ é d(P, R₁) = √((x - 6)² + (y - 1)²). Já a distância entre P e R₂ é d(P, R₂) = √((x - 6)² + (y - 9)²). Como P deve ser equidistante de R₁ e R₂, temos que d(P, R₁) = d(P, R₂).

Substituindo as equações acima, temos que √((x - 6)² + (y - 1)²) = √((x - 6)² + (y - 9)²). Elevando ambos os membros ao quadrado, temos que (x - 6)² + (y - 1)² = (x - 6)² + (y - 9)². Simplificando, temos que y² - 2y + 1 = y² - 18y + 81, ou seja, 16y = 80, o que implica que y = 5.

Como P também deve estar a uma distância de 5u.c. de R₃, temos que d(P, R₃) = 5. Substituindo P(x, 5), temos que √((x - 13)² + (5 - 1)²) = 5. Elevando ambos os membros ao quadrado, temos que (x - 13)² + 16 = 25. Simplificando, temos que x² - 26x + 144 = 0, o que implica que x = 10 ou x = 14.4.

Como o ponto P deve ser o mais próximo possível de R₁ e R₂, escolhemos x = 10. Portanto, P(10, 5) é o ponto que estamos procurando.

Agora, podemos calcular a distância entre P e R₂. Temos que d(P, R₂) = √((10 - 6)² + (5 - 9)²) = √(16 + 16) = √32 ≈ 5,6.

• A)4,0.
• B)4,7.
• C)5,3.
• D)5,6.
• E)6,2.

Portanto, a medida da distância do ponto P a R₂, em unidades de comprimento, é aproximadamente igual a 5,6, que é a opção D.