Questões Sobre Pontos e Retas - Matemática - concurso

Vamos começar encontrando o ponto de tangência entre a reta e a parábola. Para isso, podemos utilizar a fórmula da derivada da parábola em relação a x, que é d(y)/dx = 2x. No ponto de tangência, a inclinação da reta é igual à inclinação da parábola, então podemos igualar a derivada à inclinação da reta.

Seja o ponto de tangência (a, b). Então, a inclinação da reta é b/a. Além disso, como a reta passa pela origem, sua equação é y = mx, onde m é a inclinação. Substituindo x = a e y = b nessa equação, temos b = ma.

Agora, igualamos a derivada da parábola à inclinação da reta:

2a = b/a

Isso nos permite encontrar a relação entre a e b:

a² = b²/4

Substituindo essa relação na equação da parábola, temos:

a² - b + 2 = 0

b²/4 - b + 2 = 0

b² - 4b + 8 = 0

(b - 2√2)(b - 2√2) = 0

b = 2√2

Agora que encontramos o valor de b, podemos encontrar o valor de a:

a = ±√2

Como o ponto de tangência está no 2º quadrante, a é negativo. Então, a = -√2.

Substituindo os valores de a e b na equação da reta, temos:

y = b/a x

y = 2√2/-√2 x

y = -√2 x

x + √2 y = 0

Portanto, a resposta correta é E) x + √2 y = 0.

Os pontos (2,3), (5,3) e (2,7) são vértices de um triângulo retângulo. A área desse triângulo é:

• A)5 u.a
• B)6 u.a
• C)7 u.a
• D)8 u.a
• E)9 u.a

Vamos calcular a área do triângulo retângulo! Primeiramente, precisamos encontrar a base e a altura do triângulo. Observando os vértices, podemos notar que a base do triângulo é a distância entre os pontos (2,3) e (5,3), que é igual a 3 unidades.

Agora, precisamos encontrar a altura do triângulo. A altura é a distância entre o vértice (2,7) e a base do triângulo. Isso pode ser encontrado calculando a distância entre os pontos (2,3) e (2,7), que é igual a 4 unidades.

Com a base e a altura em mãos, podemos calcular a área do triângulo retângulo utilizando a fórmula:

A = (base × altura) / 2

A = (3 × 4) / 2

A = 12 / 2

A = 6 u.a

O gabarito correto é, portanto, B) 6 u.a.

Isso é incrível! Você agora sabe como calcular a área de um triângulo retângulo. Lembre-se de que a fórmula é simples: base × altura / 2. Você pode usar essa fórmula para calcular a área de qualquer triângulo retângulo!

Seja ABC um triângulo de vértices A = (1, 4), B = (5, 1) e C = (5, 5). O raio da circunferência circunscrita ao triângulo mede, em unidades de comprimento,

• A)15/8.
• B)5.
• C)25/8.
• D)5√2.
• E)10.

Para resolver este problema, precisamos calcular a área do triângulo ABC e, em seguida, utilizar a fórmula do raio da circunferência circunscrita.

Primeiramente, vamos calcular a área do triângulo ABC. Para isso, podemos utilizar a fórmula da área de um triângulo, que é dada por:

Área = (base × altura) / 2

No caso do triângulo ABC, podemos escolher a base como o segmento AB e a altura como a distância entre o vértice C e a base.

A base do triângulo ABC é o segmento AB, que tem comprimento igual a:

|AB| = √((5 - 1)² + (1 - 4)²) = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5

Agora, vamos calcular a altura do triângulo ABC. A altura é a distância entre o vértice C e a base.

A distância entre o vértice C e a base é igual à distância entre o vértice C e o ponto (5, 1), que é o ponto médio do segmento AB.

Essa distância é igual a:

|CM| = √((5 - 5)² + (5 - 1)²) = √(0² + 4²) = √16 = 4

Agora que conhecemos a base e a altura do triângulo ABC, podemos calcular sua área:

Área = (base × altura) / 2 = (5 × 4) / 2 = 20 / 2 = 10

Agora que conhecemos a área do triângulo ABC, podemos calcular o raio da circunferência circunscrita.

A fórmula do raio da circunferência circunscrita é dada por:

R = (a × b × c) / (4 × área)

onde a, b e c são os lados do triângulo.

No caso do triângulo ABC, os lados são:

|AB| = 5

|BC| = √((5 - 5)² + (5 - 1)²) = √(0² + 4²) = √16 = 4

|CA| = √((5 - 1)² + (5 - 4)²) = √(4² + 1²) = √(16 + 1) = √17

Agora, podemos calcular o raio da circunferência circunscrita:

R = (a × b × c) / (4 × área) = (5 × 4 × √17) / (4 × 10) = (20 × √17) / 40 = 5√17 / 10 = 5√2

Portanto, o raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC é igual a 5√2.

O gabarito correto é D) 5√2.

Vamos calcular a altura do triângulo ABC em relação à base AC. Para isso, primeiro vamos calcular o vetor AC.

AC = C - A = (-1, -1) - (-2, 5) = (1, -6)

Agora, vamos calcular o vetor AB.

AB = B - A = (1, 1) - (-2, 5) = (3, -4)

Em seguida, vamos calcular o produto vetorial entre os vetores AC e AB.

O produto vetorial entre dois vetores a = (a1, a2) e b = (b1, b2) é definido como:

a × b = a1*b2 - a2*b1

No nosso caso, temos:

AC × AB = (1, -6) × (3, -4) = 1*(-4) - (-6)*3 = -4 + 18 = 14

O módulo do produto vetorial é igual ao produto dos módulos dos vetores pela seno do ângulo entre eles.

|AC × AB| = |AC|*|AB|*sen(θ)

Como a altura do triângulo é igual ao produto dos módulos dos vetores pela seno do ângulo entre eles, temos:

altura = |AC|*|AB|*sen(θ) = |AC × AB|

Para calcular o módulo do vetor AC, fazemos:

|AC| = √(1² + (-6)²) = √(1 + 36) = √37

Para calcular o módulo do vetor AB, fazemos:

|AB| = √(3² + (-4)²) = √(9 + 16) = √25

Agora, vamos calcular a altura do triângulo:

altura = |AC × AB| = 14

Porm, como a altura é uma distância, ela não pode ser negativa. Logo, a altura é igual a:

altura = 14/√37

Portanto, o valor da altura do triângulo ABC em relação à base AC é igual a:

D) 14√37/37

Em um plano, munido do sistema de coordenadas cartesianas usual, o conjunto dos pontos equidistantes da reta x - 1 = 0 e do ponto (3,0) representa uma parábola cuja equação é y2 - 4x + 8 = 0.

Vamos entender melhor o porquê disso. Em primeiro lugar, precisamos encontrar a distância entre a reta x - 1 = 0 e o ponto (3,0). Isso pode ser feito utilizando a fórmula da distância entre um ponto e uma reta.

Dada uma reta Ax + By + C = 0 e um ponto (x0, y0), a distância entre eles é dada por:

d = |Ax0 + By0 + C| / √(A² + B²)

No caso em questão, temos A = 1, B = 0, C = -1, x0 = 3 e y0 = 0. Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:

d = |3 - 1| / √(1² + 0²) = 2 / 1 = 2

Isso significa que o ponto (3,0) está a uma distância de 2 unidades da reta x - 1 = 0. Agora, precisamos encontrar a equação da parábola que representa o conjunto dos pontos equidistantes da reta x - 1 = 0 e do ponto (3,0).

Essa parábola terá seu vértice no ponto (1,0), que é o ponto médio entre a reta x - 1 = 0 e o ponto (3,0). Além disso, a distância entre o vértice e o foco da parábola será igual à distância entre o ponto (3,0) e a reta x - 1 = 0, que é 2 unidades.

Portanto, a equação da parábola é y² - 4x + 8 = 0.

Essa é a equação B) dentre as opções apresentadas. As outras opções não são válidas.

Observe as coordenadas cartesianas de cinco pontos:


A(0,100), B(0, -100), C(10, 100), D(10, -100), E(100, 0).


Se a reta de equação reduzida y = mx + n é tal que mn > 0, então, dos cinco pontos dados anteriormente, o único que certamente não pertence ao gráfico dessa reta é

• A)A.
• B)B.
• C)C.
• D)D.
• E)E.

Vamos analisar cada ponto e sua possível relação com a reta y = mx + n, onde mn > 0.

Para o ponto A(0, 100), sabemos que y = 100 quando x = 0. Substituindo esses valores na equação, teremos 100 = m(0) + n, o que simplifica para 100 = n. Como mn > 0, é possível que m seja um valor qualquer positivo e n seja 100, satisfazendo a equação.

Para o ponto B(0, -100), sabemos que y = -100 quando x = 0. Substituindo esses valores na equação, teremos -100 = m(0) + n, o que simplifica para -100 = n. Como mn > 0, não é possível que m seja um valor qualquer positivo e n seja -100, pois mn não seria maior que 0. No entanto, como não sabemos o valor exato de m, não podemos afirmar que B não pertence ao gráfico.

Para o ponto C(10, 100), sabemos que y = 100 quando x = 10. Substituindo esses valores na equação, teremos 100 = m(10) + n, o que simplifica para 100 = 10m + n. Como mn > 0, é possível que m seja um valor qualquer positivo e n seja um valor que satisfaz a equação.

Para o ponto D(10, -100), sabemos que y = -100 quando x = 10. Substituindo esses valores na equação, teremos -100 = m(10) + n, o que simplifica para -100 = 10m + n. Como mn > 0, não é possível que m seja um valor qualquer positivo e n seja um valor que satisfaz a equação. No entanto, como não sabemos o valor exato de m, não podemos afirmar que D não pertence ao gráfico.

Para o ponto E(100, 0), sabemos que y = 0 quando x = 100. Substituindo esses valores na equação, teremos 0 = m(100) + n, o que simplifica para 0 = 100m + n. Como mn > 0, não é possível que m seja um valor qualquer positivo e n seja um valor que satisfaz a equação. Além disso, como mn > 0, não há como 100m + n ser igual a 0.

Portanto, o único ponto que certamente não pertence ao gráfico da reta y = mx + n, onde mn > 0, é o ponto E.

Para entendermos melhor porque o valor de a é primo, vamos analisar a situação. Os pontos A, B e C são colineares se a reta que passa por A e B for a mesma que passa por B e C. Isso significa que as equações das retas devem ser iguais.

Primeiramente, vamos encontrar as equações das retas. A equação da reta que passa por A e B é dada por:

y - (3 - a) = (x + 1) / 4

Já a equação da reta que passa por B e C é dada por:

y - (a + 1) = (-a - 2) / 3 (x - 3)

Como essas equações devem ser iguais, podemos igualá-las e resolver para a:

(x + 1) / 4 = (-a - 2) / 3 (x - 3) + (a + 1)

Agora, vamos resolver essa equação. Primeiramente, vamos multiplicar ambos os lados por 12 para eliminar as frações:

3(x + 1) = -4(a + 2)(x - 3) + 12(a + 1)

Em seguida, vamos expandir os produtos:

3x + 3 = -4ax + 12a + 8x - 24 - 12a - 8

Agora, vamos agrupar os termos:

3x + 3 = 8x - 4ax - 24 - 8

Vamos isolar x:

(4a - 11)x = -31

Agora, vamos isolar a:

a = (11x + 31) / 4

Como a é um número real, então x pode ser qualquer número real. No entanto, como a é primo, então x deve ser um número que, quando multiplicado por 11 e somado a 31, dê um primo.

Por exemplo, se x = 0, então a = 31 / 4 = 7.75, que não é primo. Se x = 1, então a = 42 / 4 = 10.5, que também não é primo. No entanto, se x = -2, então a = -1 / 4 = 2, que é primo.

Portanto, o valor de a pode ser primo, o que justifica a resposta A) primo.

Vamos resolver esse problema passo a passo. Primeiramente, vamos analisar as condições dadas:

• O segmento PnP(n - 1) é 1 cm maior do que o segmento P(n - 1)P(n - 2).

• O segmento PnP(n - 1) é perpendicular a P0P(n - 1).

Vamos começar com P1, que é 1 cm distante de P0. Logo, o segmento P1P0 tem comprimento 1 cm.

Agora, vamos analisar P2. O segmento P2P1 é 1 cm maior do que o segmento P1P0, portanto tem comprimento 2 cm. Além disso, P2P1 é perpendicular a P0P1.

Continuando assim, podemos ver que o segmento PnP(n - 1) tem comprimento n cm.

Agora, vamos calcular o comprimento do segmento P0P24. Podemos usar a fórmula da distância entre dois pontos em um plano cartesiano:

d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

No entanto, como os segmentos são perpendiculares, podemos usar a fórmula da hipotenusa:

d = √(a^2 + b^2)

Onde a é o comprimento do segmento P0P1 e b é o comprimento do segmento P1P24.

O comprimento do segmento P0P1 é 1 cm e o comprimento do segmento P1P24 é 23 cm (pois é a soma dos comprimentos dos segmentos P1P2, P2P3, ..., P23P24). Logo:

d = √(1^2 + 23^2) = √(1 + 529) = √530 ≈ 70 cm

Portanto, a resposta correta é C) 70 cm.

Considerando-se, no espaço R3, os pontos A = (1, 2, 1), B = (2, 0, 2), C = (4, k, 4) e o plano α de equação x – 2y + 2z + 4 = 0, é correto afirmar:

A área de um quadrado que possui A e B como vértices opostos é 3u.a..

• C) CERTO
• E) ERRADO

Para entender melhor essa questão, vamos analisar os dados fornecidos. Temos três pontos no espaço R3: A = (1, 2, 1), B = (2, 0, 2) e C = (4, k, 4). Além disso, há um plano α com equação x – 2y + 2z + 4 = 0.

A questão pergunta se a área do quadrado que tem A e B como vértices opostos é 3u.a.. Para responder a essa pergunta, precisamos encontrar a distância entre os pontos A e B.

Para calcular a distância entre dois pontos no espaço, podemos utilizar a fórmula de distância:

d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)

onde (x1, y1, z1) e (x2, y2, z2) são os dois pontos.

No nosso caso, temos A = (1, 2, 1) e B = (2, 0, 2). Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:

d = √((2 - 1)^2 + (0 - 2)^2 + (2 - 1)^2)

d = √(1^2 + 2^2 + 1^2)

d = √(1 + 4 + 1)

d = √6

Agora que conhecemos a distância entre os pontos A e B, podemos calcular a área do quadrado que tem esses pontos como vértices opostos. A área do quadrado é o quadrado da distância entre os vértices opostos:

A = d^2

A = (√6)^2

A = 6

Portanto, a área do quadrado que tem A e B como vértices opostos é 6u.a., que é igual a 3u.a. * 2.

Logo, a resposta certa é C) CERTO.

Considerando-se, no espaço R3, os pontos A = (1, 2, 1), B = (2, 0, 2), C = (4, k, 4) e o plano α de equação x – 2y + 2z + 4 = 0, é correto afirmar:

C ∈ α se, e somente se, k=1.

Para verificar se essa afirmação está correta, devemos substituir as coordenadas do ponto C na equação do plano α. Substituindo x = 4, y = k e z = 4, obtemos:

4 – 2k + 2(4) + 4 = 0

Simbolizando e resolvendo a equação, temos:

-2k + 16 = 0

-2k = -16

k = 8

Portanto, C ∈ α se k = 8, e não se k = 1. Logo, a afirmação está ERRADA.

Gabarito: E) ERRADO