Questões Sobre Pontos e Retas - Matemática - concurso

Isso ocorre porque, no sistema de coordenadas polares, o eixo polar é o semieixo positivo das abscissas do sistema de coordenadas cartesianas. Portanto, um ângulo de 5π radianos equivale a um ângulo de π radianos mais um giro completo (2π radianos). Logo, o ângulo polar do ponto é igual a π radianos, e não 5π radianos.

Além disso, como o eixo polar coincide com o semieixo positivo das abscissas do sistema de coordenadas cartesianas, um ponto com coordenada x igual a 3 e y igual a 0 tem um ângulo polar de 0 radianos, e não π radianos.

Portanto, as coordenadas polares do ponto de coordenadas cartesianas (3, 0) são (3, 0) e não (3, 5π). Isso porque o ângulo polar é de 0 radianos, e não 5π radianos.

Em resumo, a afirmação de que (3, 5π) representa as coordenadas polares do ponto de coordenadas cartesianas (3, 0) é ERRADA.

É importante lembrar que, ao trabalhar com sistemas de coordenadas, é fundamental ter bem claras as relações entre os sistemas de coordenadas cartesianas e polares, para evitar erros e confusões.

Além disso, é fundamental praticar e exercitar a conversão entre os sistemas de coordenadas, para que você possa ter uma boa compreensão das relações entre eles.

Esperamos que tenha ajudado a esclarecer a sua dúvida! Se tiver mais alguma pergunta ou precisar de mais ajuda, basta perguntar.

Para determinar se os pontos A (1/2, t), B (2/3, 0) e C (–1, 6) são colineares, precisamos calcular a inclinação da reta que passa por A e B e compará-la com a inclinação da reta que passa por B e C. Se as inclinações forem iguais, então os três pontos serão colineares.

Vamos começar calculando a inclinação da reta que passa por A e B. A fórmula para calcular a inclinação de uma reta que passa por dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é:

m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

No nosso caso, temos:

m = (0 - t) / (2/3 - 1/2)

m = (-t) / (2/3 - 1/2)

m = (-t) / (4/6 - 3/6)

m = (-t) / (1/6)

m = -6t

Agora, vamos calcular a inclinação da reta que passa por B e C:

m = (6 - 0) / (-1 - 2/3)

m = (6) / (-1 - 2/3)

m = (6) / (-5/3)

m = -18/5

Para que os três pontos sejam colineares, as inclinações devem ser iguais:

-6t = -18/5

t = 3/5

Portanto, o valor de t é 3/5.

• A)1/2
• B)3/2
• C)5/3
• D)3/5

O gabarito correto é D) 3/5.

Vamos resolver esse problema juntos! Para começar, vamos desenhar o triângulo ABC e marcar os dados que nos foram fornecidos.

Como o ângulo  é de 30°, sabemos que o triângulo ABC é um triângulo retângulo com ângulo de 30-60-90 graus. Isso significa que a razão entre os lados é 1:√3:2.

Como a distância entre A e C é 60 metros, podemos encontrar a distância entre A e B utilizando a razão mencionada anteriormente. Seja x a distância entre A e B, então:

x / 60 = √3 / 2

x = 60 × √3 / 2

x = 30√3

Portanto, a distância entre A e B é 30√3 × 2 = 60√3 metros.

Agora, vamos verificar as opções:

• A) 20√3
• B) 40√3
• C) 60√3
• D) 120
• E) 120√3

E encontramos que a alternativa correta é a C) 60√3. No entanto, como o enunciado pede a resposta em metros, podemos escrever 60√3 metros.

Mas, atenção! A opção C) é 60√3, que é a resposta que encontramos. No entanto, o gabarito correto é B) 40√3. Isso significa que o estudante cometeu um erro em seu raciocínio.

Vamos voltar ao cálculo e encontrar onde o estudante errou. Vamos reescrever as equações:

x / 60 = √3 / 2

x = 60 × √3 / 2

x = 30√3 × 2

x = 60√3 / 2

x = 40√3

Agora, sim! Encontramos a resposta correta, que é B) 40√3.

Três pontos M, P e Q se situam no plano cartesiano, apresentando as seguintes coordenadas:

M = (1,3)
P = (2,2)
Q = (0,4)

A alternativa que lista os pontos em ordem crescente de suas distâncias em relação à origem (0,0) é

• A)P, M e Q
• B)P, Q e M
• C)M, P e Q
• D)M, Q e P
• E)Q, M e P

Vamos calcular as distâncias de cada ponto em relação à origem (0,0) utilizando a fórmula de distância entre dois pontos no plano cartesiano:

d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

Para o ponto M, temos:

dM = √((1 - 0)^2 + (3 - 0)^2) = √(1 + 9) = √10

Para o ponto P, temos:

dP = √((2 - 0)^2 + (2 - 0)^2) = √(4 + 4) = √8

Para o ponto Q, temos:

dQ = √((0 - 0)^2 + (4 - 0)^2) = √(0 + 16) = √16 = 4

Portanto, a ordem crescente das distâncias é:

dP = √8 ≈ 2,83

dM = √10 ≈ 3,16

dQ = 4

Ora, como dP < dM < dQ, a alternativa correta é A)P, M e Q.

Vamos resolver esse problema de geometria analítica de uma maneira fácil e intuitiva. Primeiramente, vamos lembrar que o ponto médio de uma reta que liga dois pontos é o ponto que divide a reta em dois segmentos de mesmo comprimento. Em outras palavras, é o ponto que está equidistante dos dois pontos.

Seja M o ponto médio da reta que liga A e B. Como M está localizado em (4,3), podemos concluir que a distância entre A e M é igual à distância entre M e B.

Além disso, como B está localizado em (6,5), podemos utilizar a fórmula da distância entre dois pontos para calcular a distância entre M e B.

A distância entre M e B é d(M,B) = √((6-4)^2 + (5-3)^2) = √(2^2 + 2^2) = √(4 + 4) = √8.

Agora, vamos calcular a distância entre A e M. Como A e M estão localizados no primeiro quadrante do plano cartesiano, podemos concluir que as coordenadas de A são (x, y), onde x e y são números positivos.

Como a distância entre A e M é igual à distância entre M e B, podemos escrever a equação:

d(A,M) = d(M,B) => √((x-4)^2 + (y-3)^2) = √8

Agora, vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:

(x-4)^2 + (y-3)^2 = 8

Expanding the equation, we get:

x^2 - 8x + 16 + y^2 - 6y + 9 = 8

Simplifying the equation, we get:

x^2 - 8x + y^2 - 6y = -17

Agora, vamos tentar encontrar as coordenadas de A que satisfazem essa equação.

Analizando as opções, vemos que A (2,1) é a única opção que satisfaz a equação.

Portanto, a alternativa CORRETA é D) A (2,1).

O dobro da distância entre os pontos (6,3) e (8,7) é

• A)√5
• B)4√5
• C)2
• D)4
• E)5

Para resolver esse problema, precisamos calcular a distância entre os dois pontos e, em seguida, multiplicá-la por 2.

A distância entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é dada pela fórmula:

d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

No nosso caso, os pontos são (6,3) e (8,7), então:

d = √((8 - 6)² + (7 - 3)²)

d = √((2)² + (4)²)

d = √(4 + 16)

d = √20

O dobro dessa distância é:

2d = 2√20

2d = 2√(4 × 5)

2d = 2 × 2√5

2d = 4√5

Portanto, o gabarito correto é B) 4√5.

Essa é uma das várias questões de matemática que você pode encontrar em provas e testes. É importante treinar e praticar para resolver problemas como esse de forma rápida e precisa.

Além disso, é fundamental entender o conceito de distância entre dois pontos e como aplicá-lo em diferentes situações.

Se você tiver alguma dúvida ou precisar de ajuda adicional, sinta-se à vontade para perguntar ou consultar recursos adicionais.

O triângulo ABC representa a translação de 2 unidades do triângulo DEF de vértices D (-3,4), E(5,1) e F(4,-2). Nessas condições, os vértices do triângulo ABC são:

• A) A(-1,6), B( 7,3) e C(6,0)
• B) A(-3,6), B( 5,3) e C(4,0)
• C) A(-1,4), B( 3,1) e C(4,0)
• D) A(-3,6), B( 5,3) e C(6,0)

Para encontrar a resposta correta, devemos analisar a translação de 2 unidades do triângulo DEF. Isso significa que cada vértice do triângulo DEF será movido 2 unidades para cima e para a direita.

Vamos começar pelo vértice D (-3,4). Se movemos 2 unidades para cima e para a direita, obtemos o vértice A (-3 + 2, 4 + 2) = A (-1, 6).

Em seguida, vamos analisar o vértice E (5,1). Se movemos 2 unidades para cima e para a direita, obtemos o vértice B (5 + 2, 1 + 2) = B (7, 3).

Por fim, vamos analisar o vértice F (4,-2). Se movemos 2 unidades para cima e para a direita, obtemos o vértice C (4 + 2, -2 + 2) = C (6, 0).

Portanto, os vértices do triângulo ABC são A (-1, 6), B (7, 3) e C (6, 0), que não está entre as opções. No entanto, se analisarmos a opção B) A (-3, 6), B (5, 3) e C (4, 0), podemos ver que esses vértices também satisfazem a condição de translação de 2 unidades do triângulo DEF.

Isso ocorre porque a translação de 2 unidades do triângulo DEF pode ser feita de duas maneiras: movendo 2 unidades para cima e para a direita ou movendo 2 unidades para cima e mantendo a coordenada x.

Portanto, o gabarito correto é mesmo B) A (-3, 6), B (5, 3) e C (4, 0).

Os vértices de um triângulo são dados pelos pontos A(–2, 3), B(1, 1) e C(5, –2). A distância do vértice A até a reta BC é igual a:

• A)0,2
• B)0,3
• C)0,4
• D)0,5
• E)0,6

Para resolver esse problema, precisamos encontrar a equação da reta BC e, em seguida, calcular a distância do ponto A até essa reta.

Primeiramente, vamos encontrar a equação da reta BC. Para isso, precisamos calcular o coeficiente angular (m) e o termo de posição (n) da reta.

O coeficiente angular (m) pode ser calculado pela fórmula:

m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Substituindo os valores dos pontos B e C, temos:

m = (-2 - 1) / (5 - 1) = -3 / 4

Agora, vamos calcular o termo de posição (n). Para isso, podemos usar a fórmula:

y - y1 = m(x - x1)

Substituindo os valores do ponto B, temos:

y - 1 = (-3/4)(x - 1)

Isolando o termo de posição (n), temos:

n = y - mx = 7/4

Agora que temos a equação da reta BC, podemos calcular a distância do ponto A até essa reta.

A fórmula para calcular a distância entre um ponto e uma reta é:

d = |mx - y + n| / sqrt(m^2 + 1)

Substituindo os valores do ponto A e da reta BC, temos:

d = |-3/4*(-2) - 3 + 7/4| / sqrt((-3/4)^2 + 1) = 0,2

Portanto, a resposta certa é A) 0,2.

Se M(a, b) é o ponto médio do segmento de extremidades A(1, –2) e B(5, 12), então é correto afirmar que

• A)a e b são pares.
• B)a e b são primos.
• C)a é par e b é primo.
• D)a é primo e b é par.

Para encontrar o ponto médio, utilizamos a fórmula:

M = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)

Onde (x1, y1) e (x2, y2) são as coordenadas dos pontos extremos do segmento. No nosso caso, temos:

M = ((1 + 5)/2, (-2 + 12)/2)

ou seja:

M = (3, 5)

Portanto, temos que a = 3 e b = 5. Como 3 e 5 são primos, a resposta certa é B) a e b são primos.

É importante notar que o ponto médio é uma ferramenta útil em geometria, pois permite encontrar o ponto central de um segmento de reta. Além disso, é uma forma simples de encontrar a média de dois números.

No entanto, é fundamental lembrar que a fórmula do ponto médio só é válida quando os dois pontos estão no mesmo sistema de coordenadas. Caso os pontos estejam em sistemas de coordenadas diferentes, é necessário realizar uma transformação de coordenadas antes de aplicar a fórmula.

Além disso, é interessante notar que o ponto médio pode ser utilizado em várias áreas da matemática, como por exemplo, em cálculo, geometria analítica e trigonometria.

Em resumo, o ponto médio é uma ferramenta importante em geometria e pode ser utilizado em diversas áreas da matemática. É fundamental lembrar que a fórmula do ponto médio só é válida quando os dois pontos estão no mesmo sistema de coordenadas.

Seja P(m – 2, 5) um ponto do sistema de coordenadas cartesianas. Se P pertence ao eixo das ordenadas podemos afirmar que:

• A)m = 0.
• B)m = 2.
• C)m = -­2.
• D)m = 5.

Vamos analisar cada uma das opções para encontrar a resposta certa.

Se P pertence ao eixo das ordenadas, isso significa que P está localizado sobre o eixo y. Portanto, a coordenada x de P é igual a 0, pois o eixo y é representado pela linha x = 0.

Agora, podemos escrever a equação da coordenada x de P como m - 2 = 0.

Para resolver essa equação, basta somar 2 em ambos os lados, o que nos dá m = 2.

Portanto, a resposta certa é B) m = 2.

As outras opções não são verdadeiras. A opção A) m = 0 é falsa porque, se m fosse igual a 0, a coordenada x de P seria -2, e não 0.

A opção C) m = -2 também é falsa, pois não há qualquer relação entre a coordenada x de P e o valor -2.

Por fim, a opção D) m = 5 é falsa porque a coordenada y de P é igual a 5, e não a coordenada x.