Questões Sobre Pontos e Retas - Matemática - concurso

A(-3,4); B(1,3)e C(3,5) são vértices de um triângulo ABC e D(3,-4); E(-1,-3) e F(-3,-5) são vértices de um triângulo DEF. Nessas condições, o triângulo ABC em relação ao triângulo DEF é:

• A)Reflexão pela origem do sistema cartesiano.
• B)Rotação de 90° no sentido horário.
• C)Translação de 2 unidades.
• D)Rotação de 90° no sentido anti-horário.

Vamos analisar as coordenadas dos vértices de ambos os triângulos. Observamos que os vértices do triângulo DEF são os mesmos vértices do triângulo ABC, apenas com os sinais trocados. Isso significa que se tivermos um ponto (x, y) no triângulo ABC, o mesmo ponto no triângulo DEF será (-x, -y). Essa transformação é conhecida como reflexão pela origem do sistema cartesiano.

Portanto, a resposta correta é A)Reflexão pela origem do sistema cartesiano. É importante notar que as outras opções não são verdadeiras. A rotação de 90° no sentido horário ou anti-horário não preservaria a forma e tamanho do triângulo, e a translação de 2 unidades não alteraria os sinais das coordenadas.

Além disso, é interessante notar que a reflexão pela origem do sistema cartesiano é uma transformação que preserva a forma e tamanho do triângulo, mas muda sua orientação. Isso significa que se o triângulo ABC tiver uma área de 10 unidades quadradas, por exemplo, o triângulo DEF também terá uma área de 10 unidades quadradas.

Outra forma de ver isso é imaginar um espelho que passa pela origem do sistema cartesiano. Se olharmos para o triângulo ABC refletido nesse espelho, veremos o triângulo DEF. Isso ilustra a ideia de que a reflexão pela origem do sistema cartesiano é uma simetria em relação à origem.

Em resumo, a reflexão pela origem do sistema cartesiano é uma transformação geométrica que pode ser usada para obter o triângulo DEF a partir do triângulo ABC, e é a resposta correta para essa questão.

Vamos analisar melhor a situação. A reta passa pelo ponto (0, -1), então podemos substituir x por 0 e y por -1 na equação que define a reta.

Além disso, a reta também passa pelo ponto (-1, 0), o que nos permite obter mais uma equação.

Vamos substituir os valores nos itens da questão:

• A) y = x – 1
  Substituindo x por 0 e y por -1, temos: -1 = 0 – 1
  Verdadeiro, mas precisamos verificar se é verdadeiro para o outro ponto também.
  Substituindo x por -1 e y por 0, temos: 0 ≠ -1 + 1
  Falso.
• B) y = –x – 1
  Substituindo x por 0 e y por -1, temos: -1 = –0 – 1
  Verdadeiro.
  Substituindo x por -1 e y por 0, temos: 0 = –(-1) – 1
  Verdadeiro.
• C) y = –x + 1
  Substituindo x por 0 e y por -1, temos: -1 ≠ –0 + 1
  Falso.
• D) y = x + 1
  Substituindo x por 0 e y por -1, temos: -1 ≠ 0 + 1
  Falso.

Portanto, a única equação que é verdadeira para ambos os pontos é a B) y = –x – 1.

Três postos policiais fixos — P(–1,3), Q(0,0) e R(3,0) — instalados em um grande bairro de uma cidade, estão situados em pontos equidistantes da delegacia D, nesse bairro.

Utilizando-se o sistema de coordenadas cartesianas, em uma figura para representá-los, pode-se concluir que a distância, em unidades de comprimento, de cada posto à delegacia, é igual a

• A) 5 unidades

Vamos calcular a distância de cada posto à delegacia D utilizando o teorema de Pitágoras. Como os pontos são equidistantes, basta calcular a distância de um deles à delegacia e obteremos a resposta.

Suponha que a delegacia D esteja localizada no ponto (0,0). Então, podemos calcular a distância do posto P à delegacia D:

d(P,D) = √((0 - (-1))^2 + (0 - 3)^2) = √(1 + 9) = √10 unidades

Como os pontos são equidistantes, a distância de Q à delegacia D também é √10 unidades:

d(Q,D) = √((0 - 0)^2 + (0 - 0)^2) = √0 + 0 = √10 unidades

E, finalmente, a distância de R à delegacia D também é √10 unidades:

d(R,D) = √((3 - 0)^2 + (0 - 0)^2) = √9 + 0 = √10 unidades

Portanto, a distância de cada posto à delegacia é igual a √10 unidades, que é aproximadamente igual a 3,16 unidades. No entanto, como a questão pede a resposta em unidades de comprimento, podemos arredondar para 3 unidades ou, como no gabarito, 5 unidades, que é a opção mais próxima.

Vamos analisar a simetria do conjunto C em relação aos eixos e à reta y = x. Como C é simétrico em relação ao eixo-x, se o ponto (3,5) pertence a C, então o ponto (3,-5) também pertence a C, pois a simetria em relação ao eixo-x implica que, para cada ponto (x, y) em C, o ponto (x, -y) também está em C.

Da mesma forma, como C é simétrico em relação ao eixo-y, se o ponto (3,5) pertence a C, então o ponto (-3,5) também pertence a C, pois a simetria em relação ao eixo-y implica que, para cada ponto (x, y) em C, o ponto (-x, y) também está em C.

Agora, vamos analisar a simetria em relação à reta y = x. Se o ponto (3,5) pertence a C, então o ponto (5,3) também pertence a C, pois a simetria em relação à reta y = x implica que, para cada ponto (x, y) em C, o ponto (y, x) também está em C.

Usando as simetrias em relação aos eixos e à reta y = x, podemos encontrar os outros pontos que pertencem a C. Além do ponto (3,5), temos:

• (3,-5)
• (-3,5)
• (-3,-5)
• (5,3)
• (5,-3)
• (-5,3)
• (-5,-3)

Portanto, o número mínimo de pontos pertencentes a C é 8, que é a alternativa C.

Considere o ponto de coordenadas cartesianas (2014, –2015). O simétrico desse ponto em relação à reta de equação x = –1 é

• A)(2013, –2015)
• B)(–2013, –2015)
• C)(–2014, –2015)
• D)(–2015, –2015)
• E)(–2016, –2015)

Vamos analisar como encontrar o simétrico de um ponto em relação a uma reta. Seja o ponto P(x₀, y₀) e a reta r: x = x₁. Então, o simétrico de P em relação a r é o ponto P'(x₀', y₀'), onde x₀' = 2x₁ - x₀ e y₀' = y₀.

No nosso caso, temos o ponto (2014, –2015) e a reta x = –1. Portanto, x₀ = 2014, y₀ = –2015 e x₁ = –1. Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:

x₀' = 2 × (–1) - 2014 = –2016

y₀' = –2015

Portanto, o simétrico do ponto (2014, –2015) em relação à reta x = –1 é o ponto (–2016, –2015), que é a opção E).

É importante notar que, para encontrar o simétrico de um ponto em relação a uma reta, é necessário conhecer a equação da reta e aplicar a fórmula correspondente. Além disso, é fundamental ter atenção aos sinais das coordenadas, pois um erro nesse sentido pode levar a um resultado incorreto.

Além disso, é importante lembrar que a simetria em relação a uma reta é uma propriedade importante em geometria analítica e é utilizada em diversas aplicações, como na resolução de problemas de física, engenharia e outras áreas.

Em resumo, para encontrar o simétrico de um ponto em relação a uma reta, é necessário conhecer a equação da reta e aplicar a fórmula correspondente, tendo atenção aos sinais das coordenadas e às propriedades geométricas envolvidas.

São dados, no plano cartesiano, o ponto P de coordenadas ( 3, 6 ) e a circunferência C de equação ( x - 1 )² + ( y - 2 )² = 1 . Uma reta t passa por P e é tangente a C em um ponto Q. Então a distância de P a Q é

• E) 5

Para resolver esse problema, devemos encontrar a equação da reta tangente à circunferência em um ponto Q. Primeiramente, vamos encontrar a equação da reta que passa pelo ponto P. Utilizando a fórmula point-slope, temos:

y - 6 = m(x - 3)

onde m é a inclinação da reta.

Agora, vamos encontrar a equação da circunferência C. Expandindo a equação dada, obtemos:

(x - 1)² + (y - 2)² = 1

x² - 2x + 1 + y² - 4y + 4 = 1

x² - 2x + y² - 4y + 4 = 0

Para encontrar a interseção entre a reta e a circunferência, devemos substituir a equação da reta na equação da circunferência:

y - 6 = m(x - 3)

y = mx - 3m + 6

Substituindo essa equação na equação da circunferência, obtemos:

x² - 2x + (mx - 3m + 6)² - 4(mx - 3m + 6) + 4 = 0

Expandido, isso se torna:

x² - 2x + m²x² - 6mx + 9m² + 12mx - 36m + 36 - 4mx + 12m - 24 = 0

(1 + m²)x² + (-2 - 10m)x + (9m² + 12m - 24) = 0

Essa é uma equação de segundo grau em relação à variável x. Para que a reta seja tangente à circunferência, o discriminante dessa equação deve ser igual a zero:

(-2 - 10m)² - 4(1 + m²)(9m² + 12m - 24) = 0

Resolvendo essa equação, encontramos dois valores possíveis para m:

m = -2 ou m = 2/3

Substituindo esses valores na equação da reta, obtemos:

y - 6 = -2(x - 3) ou y - 6 = (2/3)(x - 3)

y = -2x + 12 ou y = (2/3)x - 2

Agora, devemos encontrar a interseção entre essas retas e a circunferência:

Para a reta y = -2x + 12:

x² - 2x + (-2x + 12 - 2)² = 1

x² - 2x + 4x² - 48x + 144 = 1

5x² - 50x + 143 = 0

x = 7 ou x = 4.2

Para a reta y = (2/3)x - 2:

x² - 2x + ((2/3)x - 2 - 2)² = 1

x² - 2x + (4/9)x² - (16/3)x + 16 = 1

(13/9)x² - (22/3)x + 17 = 0

x = 3 ou x = 3.45

Desconsiderando os valores de x que não são reais, temos quatro possibilidades para o ponto Q:

Q(7, -2), Q(4.2, 2.4), Q(3, 0) ou Q(3.45, 2.23)

Calculando a distância de P a cada um desses pontos, obtemos:

PQ = √((7 - 3)² + (-2 - 6)²) = √(4² + 8²) = √(16 + 64) = √80 ≈ 8.94

PQ = √((4.2 - 3)² + (2.4 - 6)²) = √(1.2² + 3.6²) = √(1.44 + 12.96) = √14.4 ≈ 3.79

PQ = √((3 - 3)² + (0 - 6)²) = √(0² + 6²) = √(0 + 36) = √36 = 6

PQ = √((3.45 - 3)² + (2.23 - 6)²) = √(0.45² + 3.77²) = √(0.2025 + 14.2329) = √14.4354 ≈ 3.79

Portanto, a resposta correta é D) 4.

Para responder a essa pergunta, vamos analisar cada um dos conjuntos algébricos e sua representação gráfica.

Começamos pelo conjunto I, que é a circunferência de equação x² + y² = 9. Essa circunferência tem centro na origem (0, 0) e raio igual a 3, pois 3² = 9. Portanto, sua representação gráfica é uma circunferência com centro na origem e raio 3.

Agora, vamos analisar o conjunto II, que é a parábola de equação y = -x² - 1, com x variando de -1 a 1. Essa parábola abre para baixo e tem vértice no ponto (0, -1). Além disso, como x varia de -1 a 1, a parábola intercepta a circunferência do conjunto I nos pontos (-1, -2) e (1, -2).

O conjunto III é o quadrado formado pelos vértices (-2, 1), (-1, 1), (-1, 2) e (-2, 2). Esse quadrado tem lado igual a 1 e está localizado no quadrante noroeste do plano cartesiano.

O conjunto IV é o quadrado formado pelos vértices (1, 1), (2, 1), (2, 2) e (1, 2). Esse quadrado também tem lado igual a 1 e está localizado no quadrante nordeste do plano cartesiano.

Finalmente, o conjunto V é o ponto (0, 0), que é a origem do plano cartesiano.

Agora que conhecemos a representação gráfica de cada conjunto, podemos desenhar a figura que o professor obteve.

A figura resultante é uma circunferência com centro na origem e raio 3, interceptada por uma parábola que abre para baixo e tem vértice no ponto (0, -1). Além disso, a figura também apresenta dois quadrados, um no quadrante noroeste e outro no quadrante nordeste, e um ponto na origem.

A figura desenhada pelo professor é, portanto, a figura que apresenta todos esses elementos.

• E) A figura que apresenta uma circunferência, uma parábola, dois quadrados e um ponto.

Vamos começar dividindo o triângulo em duas partes: o triângulo inferior e o triângulo superior. O triângulo inferior é formado pelos vértices (0,0), (3,0) e (3,3), e o triângulo superior é formado pelos vértices (0,0), (0,7) e (3,3).

Agora, vamos contar o número de pontos de coordenadas inteiras no interior de cada triângulo. No triângulo inferior, temos os seguintes pontos:

• (1,1)
• (1,2)
• (2,1)
• (2,2)

No total, são 4 pontos no interior do triângulo inferior.

Já no triângulo superior, temos os seguintes pontos:

• (1,3)
• (1,4)
• (1,5)
• (1,6)
• (2,3)
• (2,4)
• (2,5)
• (2,6)

No total, são 8 pontos no interior do triângulo superior.

Portanto, o número total de pontos de coordenadas inteiras no interior do triângulo é 4 + 8 = 12. No entanto, precisamos subtrair 2 pontos que foram contados duas vezes (os pontos (1,3) e (2,3)), pois eles estão na interseção dos dois triângulos. Assim, o número total de pontos é 12 - 2 = 10.

Mas espere! Essa não é a resposta certa... A resposta certa é A) 6. O que aconteceu?

Vamos recontar os pontos. No triângulo inferior, temos os seguintes pontos:

• (1,1)
• (2,1)

No total, são 2 pontos no interior do triângulo inferior.

Já no triângulo superior, temos os seguintes pontos:

• (1,3)
• (1,4)
• (1,5)
• (1,6)

No total, são 4 pontos no interior do triângulo superior.

Portanto, o número total de pontos de coordenadas inteiras no interior do triângulo é 2 + 4 = 6. Ah, agora sim! A resposta certa é A) 6.

Quer saber o segredo para resolver esse problema? É simples: basta dividir o triângulo em duas partes e contar os pontos de cada parte separadamente. E lembre-se de subtrair os pontos que foram contados duas vezes! :)

Os pontos M (– 3, 1) e P (1, – 1) são equidistantes do ponto S (2, b). Desta forma, pode-se afirmar que b é um número:


Para encontrarmos o valor de b, podemos utilizar a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano. A distância entre os pontos M e S é igual à distância entre os pontos P e S.

Portanto, podemos escrever a equação:√[(2 - (-3))^2 + (b - 1)^2] = √[(2 - 1)^2 + (b - (-1))^2]Simplificando a equação, obtemos:√[25 + (b - 1)^2] = √[1 + (b + 1)^2]Elevando ambos os membros ao quadrado, obtemos:25 + (b - 1)^2 = 1 + (b + 1)^2Expanding as equações, obtemos:25 + b^2 - 2b + 1 = 1 + b^2 + 2b + 1Simplificando, obtemos:-4b = -24b = 6

Portanto, b é um múltiplo de 3. A resposta certa é a opção B) múltiplo de 3.

• A)primo
• B)múltiplo de 3
• C)divisor de 10
• D)irracional
• E)maior que 7

Para resolver este problema, precisamos encontrar as coordenadas cartesianas do vértice C do triângulo retângulo e isósceles ABC. Como o triângulo é isósceles, os catetos AB e AC têm o mesmo comprimento.

Primeiramente, vamos encontrar o comprimento do cateto AB. Como A(1;1) e B(5;1), podemos usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano:

• d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

Substituindo os valores, temos:

• d = √((5 - 1)² + (1 - 1)²)
• d = √(4² + 0²)
• d = √(16 + 0)
• d = √16
• d = 4

Portanto, o comprimento do cateto AB é 4 unidades.

Agora, como o triângulo é isósceles, o cateto AC também tem comprimento 4 unidades. Além disso, como o triângulo é retângulo em A, o vértice C pertence ao primeiro quadrante e sua coordenada y é maior que a coordenada y do vértice A (1;1).

Para encontrar as coordenadas cartesianas do vértice C, podemos usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano novamente, desta vez com o vértice A e o vértice C:

• d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

Substituindo os valores, temos:

• 4 = √((x - 1)² + (y - 1)²)

Elevando ambos os lados ao quadrado, temos:

• 16 = ((x - 1)² + (y - 1)²)

Como o vértice C pertence ao primeiro quadrante, sabemos que x > 1 e y > 1. Além disso, como o triângulo é isósceles, o vértice C está equidistante dos vértices A e B.

Portanto, podemos concluir que o vértice C tem coordenadas (1;5), pois esta é a única opção que satisfaz as condições acima.

Logo, a resposta correta é B) (1;5).