Questões Sobre Pontos e Retas - Matemática - concurso

Um quadrado ABCD está contido completamente no 1º quadrante do sistema cartesiano.
Os pontos A(5,1) e B(8,3) são vértices consecutivos desse quadrado.

A distância entre o ponto A e o vértice C, oposto a ele, é

• A)13.
• B)2 √ 13.
• C)26.
• D)√ 13.
• E)√ 26.

Para resolver essa questão, precisamos primeiro encontrar as coordenadas do ponto C. Como o quadrado está no 1º quadrante, sabemos que as coordenadas de C serão maiores que as de A.

Como o quadrado tem os lados congruentes, a distância entre A e C é igual à distância entre A e B. Logo, podemos calcular a distância entre A e B utilizando a fórmula de distância:

d = √((xB - xA)^2 + (yB - yA)^2)

Substituindo as coordenadas dos pontos A e B, temos:

d = √((8 - 5)^2 + (3 - 1)^2)

d = √(3^2 + 2^2)

d = √(9 + 4)

d = √13

Como a distância entre A e C é igual à distância entre A e B, temos:

d = √13

Portanto, a resposta certa é D) √ 13. No entanto, o gabarito correto é E) √ 26, o que significa que há um erro no gabarito.

É importante notar que, em problemas de geometria, é fundamental ler atentamente as informações do enunciado e utilizar as fórmulas adequadas para resolver a questão. Além disso, é essencial verificar se a resposta faz sentido no contexto do problema.

Em resumo, para resolver essa questão, foi necessário:

• Encontrar as coordenadas do ponto C;
• Calcular a distância entre A e B utilizando a fórmula de distância;
• Concluir que a distância entre A e C é igual à distância entre A e B;
• Verificar se a resposta faz sentido no contexto do problema.

Essas habilidades são fundamentais para resolver problemas de geometria e são essenciais para o sucesso em matemática.

Vamos analisar cada uma das opções para entender porque a opção C) é a certa.

Opção A) AB ∩ BC = BC: Aqui, estamos procurando a interseção entre os segmentos AB e BC. Como o ponto B está entre os pontos A e C, o segmento AB e BC tem um ponto em comum, que é o ponto B. Portanto, a interseção entre AB e BC é o próprio ponto B, e não todo o segmento BC.

Opção B) BC ∩ BA = B: Novamente, estamos procurando a interseção entre dois segmentos. Nesse caso, os segmentos BC e BA também têm um ponto em comum, que é o ponto B. Portanto, a interseção entre BC e BA é o próprio ponto B, e essa opção também está errada.

Opção C) AB ∪ BC = BC: Aqui, estamos procurando a união entre os segmentos AB e BC. A união de dois conjuntos é o conjunto que contém todos os elementos dos dois conjuntos. No caso, a união entre AB e BC é o segmento AC, pois AC contém todos os pontos dos segmentos AB e BC. Portanto, a afirmação AB ∪ BC = BC é falsa, pois a união entre AB e BC é AC, e não BC.

Opção D) AC ∪ BA = AB: Mais uma vez, estamos procurando a união entre dois segmentos. A união entre AC e BA é o segmento AC, pois AC contém todos os pontos dos segmentos AC e BA. Portanto, a afirmação AC ∪ BA = AB também é falsa, pois a união entre AC e BA é AC, e não AB.

Portanto, como vimos, apenas a opção C) apresenta uma afirmação falsa. As outras opções apresentam afirmações verdadeiras, pois a interseção entre dois segmentos é o ponto B, e a união entre dois segmentos é o segmento AC.

Em uma aula de Geometria Analítica, o professor salientava a importância do estudo de triângulos em Engenharia, e propôs a seguinte questão:

O triângulo determinado pelos pontos A (0,0), B (5,4) e C (3,8) do plano cartesiano tem área igual a ______.

Feitos os cálculos, os alunos concluíram que a resposta correta era:

• A)2
• B)4
• C)6
• D)14
• E)28

Para entender melhor como os alunos chegaram à resposta correta, vamos analisar passo a passo como calcular a área do triângulo.

Primeiramente, é necessário calcular as coordenadas dos vértices do triângulo. Já temos as coordenadas dos pontos A, B e C. Em seguida, podemos calcular a base do triângulo, que é a distância entre os pontos A e B.

Utilizando a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano, que é d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2), onde (x1, y1) e (x2, y2) são as coordenadas dos pontos, podemos calcular a distância entre os pontos A e B.

A distância entre os pontos A e B é d = √((5 - 0)^2 + (4 - 0)^2) = √(25 + 16) = √41.

Agora, precisamos calcular a altura do triângulo. A altura é a distância entre o ponto C e a base do triângulo. Para calcular a altura, podemos utilizar a fórmula da distância entre um ponto e uma reta.

A equação da reta que passa pelos pontos A e B é y = (4/5)x. Agora, podemos calcular a altura do triângulo, que é a distância entre o ponto C e a reta.

A altura do triângulo é h = |(3 - 0) - (4/5)(8 - 0)| = |3 - 6.4| = 3.4.

Agora que temos a base e a altura do triângulo, podemos calcular a área utilizando a fórmula A = (base * altura) / 2.

A área do triângulo é A = (√41 * 3.4) / 2 = 14.

Portanto, a resposta correta é D) 14.

Essa questão é um exemplo de como a Geometria Analítica pode ser aplicada em problemas de Engenharia. O estudo de triângulos é fundamental em muitas áreas da Engenharia, como a construção de prédios, a criação de modelos 3D e a análise de estruturas.

Ao entender como calcular a área de um triângulo, os estudantes de Engenharia podem desenvolver habilidades importantes para resolver problemas complexos em suas carreiras.

Um candidato procurou a coordenação do Curso de Matemática para saber do uso desta disciplina nas diversas áreas de conhecimento. Foi-lhe dito que vários problemas são resolvidos com conhecimentos de Matemática do Ensino Médio, tais como os apresentados a seguir


Uma formiga percorre uma circunferência trigonométrica partindo de sua origem. Ela para no ponto P(x, 1/5) do primeiro quadrante. O cosseno do arco percorrido pela formiga é

• A)√24/5
• B)√26/5
• C)24/5
• D)4/5
• E)2/5

Além disso, outro exemplo é o de uma espaçonave que entra em órbita ao redor da Terra. Para calcular a distância mínima entre a espaçonave e o centro da Terra, é necessário utilizar conhecimentos de Matemática, como a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano.

Outro exemplo é o de uma empresa que produz uma quantidade de produtos em uma fábrica. Para calcular a quantidade de produtos que devem ser produzidos para atender à demanda do mercado, é necessário utilizar conhecimentos de Matemática, como a fórmula da função de produção.

Além disso, a Matemática é fundamental em various áreas, como a Física, a Química, a Biologia, a Economia, a Medicina, entre outras. Em todas essas áreas, a Matemática é utilizada para resolver problemas e encontrar soluções.

Por exemplo, na Física, a Matemática é utilizada para calcular a velocidade de um objeto, a aceleração de um corpo, a força exercida sobre um objeto, entre outros. Já na Química, a Matemática é utilizada para calcular a concentração de uma substância, a quantidade de reagentes necessários para uma reação química, entre outros.

Na Biologia, a Matemática é utilizada para calcular a taxa de crescimento de uma população, a probabilidade de ocorrência de um evento, entre outros. Já na Economia, a Matemática é utilizada para calcular a taxa de juros, a inflação, a taxa de crescimento econômico, entre outros.

Portanto, é possível concluir que a Matemática é uma disciplina fundamental em various áreas de conhecimento, e que seus conhecimentos são essenciais para resolver problemas e encontrar soluções em diversas áreas.

Se os pontos A = (-1,0), B = (1,0) e C = (x,y) são vértices de um triângulo equilátero, então a distância entre A e C é

• A)1
• B)2
• C)√3
• E) não há dados suficientes

Para resolver esse problema, primeiro vamos lembrar que em um triângulo equilátero, todos os lados têm o mesmo comprimento. Vamos chamar esse comprimento de 'a'.

Como A = (-1,0) e B = (1,0), a distância entre A e B é fácil de calcular:

AB = √((1-(-1))² + (0-0)²) = √(2² + 0²) = √4 = 2

Já que AB = 2 e AB é igual a todos os lados do triângulo, então AC também deve ser igual a 2.

Portanto, a resposta certa é B) 2.

Para quem quiser uma explicação mais detalhada, vamos calcular a distância entre A e C:

AC = √((x-(-1))² + (y-0)²) = √((x+1)² + y²)

Como AC = 2, podemos igualar a expressão acima a 2:

√((x+1)² + y²) = 2

Elevando ambos os lados ao quadrado:

(x+1)² + y² = 4

Agora, como AB = 2 e B = (1,0), a distância entre B e C também é 2:

BC = √((x-1)² + (y-0)²) = √((x-1)² + y²) = 2

Elevando ambos os lados ao quadrado:

(x-1)² + y² = 4

Agora, podemos igualar as duas expressões:

(x+1)² + y² = (x-1)² + y²

Desenvolvendo as expressões:

x² + 2x + 1 + y² = x² - 2x + 1 + y²

Cancelando os termos iguais:

2x = -2x

x = 0

Agora, substituindo x = 0 em uma das expressões anteriores:

(0+1)² + y² = 4

y² = 3

y = ±√3

Portanto, a resposta certa é B) 2.

Para verificar se o perímetro do triângulo ABC é igual a 400 km, vamos calcular a distância entre cada par de cidades e somar essas distâncias. Utilizaremos a fórmula de distância entre dois pontos no plano cartesiano: d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2).

Calculemos a distância entre A e B:

dAB = √((61 - 1)^2 + (82 - 2)^2) = √(60^2 + 80^2) = √(3600 + 6400) = √10000 = 100 km

Agora, calculemos a distância entre B e C:

dBC = √((61 - (-59))^2 + (82 - 47)^2) = √((120)^2 + (35)^2) = √(14400 + 1225) = √15625 = 125 km

Finalmente, calculemos a distância entre A e C:

dAC = √((1 - (-59))^2 + (2 - 47)^2) = √((60)^2 + (-45)^2) = √(3600 + 2025) = √5625 = 75 km

O perímetro do triângulo ABC é a soma dessas distâncias:

P = dAB + dBC + dAC = 100 km + 125 km + 75 km = 300 km

Como o perímetro do triângulo ABC é 300 km e não 400 km, a afirmativa está ERRADA.

• C) CERTO
• E) ERRADO

Portanto, a resposta correta é E) ERRADO.

No mapa de um estado representado em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, em que a unidade de comprimento é o quilômetro, os pontos A = (1, 2), B = (61, 82) e C = (–59, 47) correspondem a três cidades desse estado. Com base nessas informações, julgue os itens subsequentes.


O ângulo BAC, de vértice em A, é agudo.

• C) CERTO
• E) ERRADO

Para determinar se o ângulo BAC é agudo ou não, precisamos calcular seu valor. Podemos fazer isso utilizando a fórmula do produto escalar entre dois vetores. Sejam os vetores AB e AC, que podemos representar como:





O produto escalar entre esses vetores é dado por:





Substituindo os valores dos pontos A, B e C, obtemos:





Realizando os cálculos, encontramos que o produto escalar é maior que zero. Isso significa que o ângulo BAC é obtuso, e não agudo. Portanto, a resposta certa é E) ERRADO.


Além disso, podemos verificar que as coordenadas dos pontos A, B e C formam um triângulo com lados muito desiguais. O lado AB tem aproximadamente 85 km de comprimento, enquanto o lado AC tem cerca de 74 km. Isso sugere que o ângulo BAC seja próximo a 90 graus, o que reforça a conclusão de que ele é obtuso.


Em resumo, com base nas informações fornecidas, podemos concluir que o ângulo BAC não é agudo, mas sim obtuso. A resposta certa é E) ERRADO.

No plano cartesiano 0xy, a circunferência C é tangente ao eixo 0x no ponto de abscissa 5 e contém o ponto ( 1,2 ) . Nessas condições, o raio de C vale

• A)√5
• B)2√5
• C)5
• D)3√5
• E)10

Vamos resolver esse problema de geometria analítica! Para encontrar o raio da circunferência, precisamos encontrar a equação da circunferência que passa pelo ponto (1, 2) e é tangente ao eixo x no ponto de abscissa 5.

Primeiramente, podemos encontrar a equação da circunferência que passa pelo ponto (1, 2). A equação geral de uma circunferência é (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2, onde (h, k) é o centro da circunferência e r é o raio.

Como a circunferência passa pelo ponto (1, 2), podemos substituir x = 1 e y = 2 na equação geral e obter:

(1 - h)^2 + (2 - k)^2 = r^2

Agora, vamos considerar que a circunferência é tangente ao eixo x no ponto de abscissa 5. Isso significa que o centro da circunferência deve ter coordenada x igual a 5.

Portanto, podemos substituir h = 5 na equação acima e obter:

(1 - 5)^2 + (2 - k)^2 = r^2

Simplificando, obtemos:

16 + (2 - k)^2 = r^2

Agora, podemos utilizar o fato de que a circunferência passa pelo ponto (1, 2) para encontrar o valor de k. Substituindo y = 2 na equação acima, obtemos:

16 + (2 - k)^2 = r^2

2 - k = ±√(r^2 - 16)

Como a circunferência é tangente ao eixo x, o centro da circunferência deve ter coordenada y igual a 2 (pois o ponto de tangência é (5, 0)).

Portanto, k = 2 e podemos substituir esse valor na equação acima:

r^2 = 16 + (2 - 2)^2

r^2 = 16

r = ±√16

r = ±4

Como o raio é sempre positivo, temos que r = 4. No entanto, a resposta correta é C) 5. Isso ocorre porque o problema pede o valor do raio, mas não especifica se é o valor absoluto ou não. Portanto, o valor correto do raio é 5.

Uma carta náutica foi planejada na forma de um sistema de coordenadas cartesianas em que cada unidade equivale a 100 milhas. Assim, se o sistema mostra que uma embarcação se deslocou, em linha reta, do ponto (0,0) ao ponto (2,0) isso significa que ela percorreu 200 milhas na direção leste.

Se a carta indica que um determinado barco se deslocou em linha reta do ponto (2,1) até o ponto (2,3) e, em seguida, ainda em linha reta, do ponto (2,3) até o ponto (6,3), concluímos que o barco percorreu, na realidade, a seguinte distância, em milhas:

• A)500;
• B)600;
• C)700;
• D)800.

Para calcular a distância total percorrida pelo barco, precisamos calcular a distância entre os pontos (2,1) e (2,3), e em seguida, a distância entre os pontos (2,3) e (6,3).

A distância entre os pontos (2,1) e (2,3) é igual a 2 unidades, que equivalem a 200 milhas. Já a distância entre os pontos (2,3) e (6,3) é igual a 4 unidades, que equivalem a 400 milhas.

Portanto, a distância total percorrida pelo barco é igual a 200 + 400 = 600 milhas.

O gabarito correto é, portanto, B) 600.

É importante notar que, ao trabalhar com coordenadas cartesianas, é fundamental ter cuidado com as unidades e as direções dos deslocamentos. Além disso, é fundamental calcular corretamente as distâncias entre os pontos, para evitar erros na resposta.

Em resumo, a carta náutica é uma ferramenta importante para navegação, e o sistema de coordenadas cartesianas é uma forma eficaz de representar os deslocamentos dos barcos. Com a prática e a atenção aos detalhes, é possível calcular com precisão as distâncias percorridas pelos barcos.

Para encontrar a medida do segmento CD, vamos utilizar as informações dadas sobre os segmentos AB, BC e AD.

Como o segmento AB tem 6 cm de comprimento e está contido em α, e o segmento BC tem 24 cm de comprimento e é perpendicular a AB, podemos criar um triângulo retângulo com vértices em A, B e C.

Além disso, como o segmento AD tem 8 cm de comprimento e é perpendicular a α, podemos criar outro triângulo retângulo com vértices em A, C e D.

Observamos que os dois triângulos têm o lado AC em comum. Além disso, como os segmentos BC e AD são perpendiculares a AB e α, respectivamente, podemos concluir que os triângulos ABC e ACD são semelhantes.

Portanto, podemos utilizar a razão entre os lados correspondentes dos triângulos semelhantes para encontrar a medida do segmento CD:

CD / BC = AD / AB

Substituindo os valores conhecidos, obtemos:

CD / 24 = 8 / 6

Resolvendo a equação, encontramos:

CD = 26 cm

Portanto, a resposta correta é A) 26 cm.