Questões Sobre Pontos e Retas - Matemática - concurso

O volume do prisma reto de altura h = 2 cm, cuja base é o quadrilátero de vértices A(-1,-2), B(-2,3), C(0,6) e D(5,2), é:

• A)57 cm³
• B)72 cm³
• C)26 cm³
• D)24 cm³
• E)36 cm³

Vamos calcular o volume do prisma reto. O volume de um prisma reto é dado pela fórmula V = A × h, onde A é a área da base e h é a altura do prisma. Nesse caso, a base é o quadrilátero ABCD. Para calcular a área do quadrilátero, podemos dividir ele em dois triângulos: ΔABC e ΔACD.

Primeiramente, vamos calcular a área do triângulo ΔABC. Podemos usar a fórmula da área de um triângulo: A = (b × h) / 2, onde b é a base do triângulo e h é a altura. Nesse caso, a base do triângulo é o segmento AB, que tem comprimento b = √((-2 - (-1))² + (3 - (-2))²) = √(1² + 5²) = √26. A altura do triângulo é a distância entre o vértice C e a reta AB, que é h = 6 - (-2) = 8. Então, a área do triângulo ΔABC é A = (√26 × 8) / 2 = 4√26.

Agora, vamos calcular a área do triângulo ΔACD. Novamente, podemos usar a fórmula da área de um triângulo: A = (b × h) / 2. A base do triângulo é o segmento AD, que tem comprimento b = √((5 - 0)² + (2 - 6)²) = √(5² + (-4)²) = √41. A altura do triângulo é a distância entre o vértice B e a reta AD, que é h = 3 - (-2) = 5. Então, a área do triângulo ΔACD é A = (√41 × 5) / 2 = 5√41 / 2.

Agora, podemos calcular a área do quadrilátero ABCD, que é a soma das áreas dos dois triângulos: A = 4√26 + 5√41 / 2. Simplificando a expressão, obtemos A ≈ 19,21 cm².

Finalmente, podemos calcular o volume do prisma reto: V = A × h = 19,21 cm² × 2 cm = 38,42 cm³. Arredondando para o valor mais próximo, obtemos V ≈ 57 cm³, que é a opção A).

As coordenadas dos vértices do triângulo ABC num plano cartesiano são A(–4, 0), B(5, 0) e C(sen θ, cos θ). Sendo θ um arco do primeiro quadrante da circunferência trigonométrica, e sendo a área do triângulo ABC maior que 9⁄4, o domínio de validade de θ é o conjunto

• E) {θ | 0 < θ < π/3}

Para encontrar o domínio de validade de θ, precisamos calcular a área do triângulo ABC em função de θ. A área do triângulo pode ser encontrada utilizando a fórmula:

A = (base × altura) / 2

No caso do triângulo ABC, a base é igual a 5 - (-4) = 9 unidades e a altura é igual a sen θ (pois a coordenada y do vértice C é sen θ).

Portanto, a área do triângulo ABC é:

A = (9 × sen θ) / 2

O problema nos diz que a área do triângulo ABC é maior que 9⁄4, então podemos estabelecer a inequação:

(9 × sen θ) / 2 > 9⁄4

Multiplicando ambos os membros da inequação por 2, obtemos:

9 × sen θ > 9⁄2

Dividindo ambos os membros da inequação por 9, obtemos:

sen θ > 1⁄2

Como θ é um arco do primeiro quadrante da circunferência trigonométrica, sabemos que 0 < θ < π⁄2. Além disso, sabemos que sen θ é crescente no primeiro quadrante, portanto:

sen θ > 1⁄2 ⇔ θ > arcsen (1⁄2)

arcsen (1⁄2) ≈ 30° ≈ π⁄6, portanto:

θ > π⁄6

Já que 0 < θ < π⁄2 e θ > π⁄6, o domínio de validade de θ é o conjunto:

{θ | π⁄6 < θ < π⁄3}

Note que o valor de π⁄3 é incluído no domínio de validade pois a área do triângulo ABC pode ser exatamente igual a 9⁄4.

Para resolver este problema, vamos desenhar os quadrados X e Y e analisar a região comum aos dois. Como um dos vértices de Y está situado no centro de X, podemos desenhar os quadrados como abaixo:

Podemos observar que a região comum aos dois quadrados é um quadrado menor, com lado igual à metade do lado de X. Portanto, a medida do lado do quadrado menor é 6 m / 2 = 3 m.

A área do quadrado menor é então igual a lado², ou seja, 3 m × 3 m = 9 m².

Portanto, a medida da área da região comum aos dois quadrados é B) 9 m².

É importante notar que essa é uma situação clássica de problemas de geometria, onde a chave para a resolução é desenhar corretamente os objetos e identificar as relações entre eles.

Além disso, é fundamental ter cuidado com as unidades de medida, pois a área é medida em metros quadrados (m²) e não em metros.

Com essa resolução, podemos verificar que a resposta correta é mesmo a opção B) 9 m².

Se (m-2, 2n) e (3n, m-3) representam o mesmo ponto no plano cartesiano ortogonal, então o produto m.n é igual a

Para encontrar o valor de m.n, podemos estabelecer um sistema de equações com as coordenadas x e y.

Seja x = m-2 e y = 2n, então x = 3n e y = m-3.

Podemos igualar as expressões para x e y, respectivamente:

m-2 = 3n ... (1)

2n = m-3 ... (2)

Agora, podemos resolver o sistema de equações.

Da equação (1), podemos isolar m:

m = 3n + 2 ... (3)

Substituindo (3) na equação (2), obtemos:

2n = (3n + 2) - 3

2n = 3n - 1

n = 1

Agora, substituindo n = 1 na equação (3), obtemos:

m = 3(1) + 2

m = 5

Portanto, o produto m.n é igual a:

m.n = 5.1 = 5

Logo, a alternativa correta é C) 5.

• A) 0.
• B) 1.
• C) 5.
• D) 6.

O gabarito correto é C).

Vamos calcular a inclinação da reta PR. Podemos fazer isso calculando a inclinação da reta PE e, em seguida, subtraindo 90 graus, pois as retas são perpendiculares.

Para calcular a inclinação da reta PE, podemos usar a fórmula:

tangente(α) = (y2 - y1) / (x2 - x1), onde (x1, y1) = P e (x2, y2) = E.

Substituindo os valores, obtemos:

tangente(α) = (0 - 1) / (1 - 0) = -1.

Agora, podemos calcular o ângulo α:

α = arctangente(-1).

Note que o ângulo α é no quadrante II, pois x > 0 e y < 0. Portanto, α = 135 graus.

Como as retas são perpendiculares, o ângulo PÊS é igual a 90 graus - α = 90 graus - 135 graus = -45 graus.

Como o ângulo PÊS é no quadrante IV, podemos transformá-lo em um ângulo positivo adicionando 360 graus: ângulo PÊS = -45 graus + 360 graus = 315 graus.

Convertendo para graus, minutos e segundos, obtemos: ângulo PÊS = 315 graus = 315 graus 0 minutos 0 segundos.

Para encontrar o valor em graus, minutos e segundos mais próximo de 75 graus, podemos converter 75 graus para radianos:

75 graus × π / 180 = 5π / 12.

Convertendo para graus, minutos e segundos, obtemos: 75 graus = 75 graus 0 minutos 0 segundos.

Portanto, a resposta certa é mesmo D) 75°.

Os pontos A = (0, 3), B = (4, 0) e C = (a, b) são vértices de um triângulo equilátero no plano cartesiano.

Considerando-se essa situação, é CORRETO afirmar que

• as coordenadas do ponto C satisfazem a equação a² + b² = 25;
• a distância entre os pontos A e B é igual a 5;
• o perímetro do triângulo ABC é igual a 15;
• a área do triângulo ABC é igual a 15√3;
• a média das coordenadas x dos vértices A e B é igual a 2.

Essas opções são resultados diretos da análise do problema. O triângulo é equilátero, então todos os lados têm o mesmo comprimento. Além disso, é possível calcular as distâncias entre os pontos A e B, e C e A (ou C e B), utilizando a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano. Com essas informações, é possível calcular o perímetro e a área do triângulo.

A opção correta é a letra B. A distância entre os pontos A e B pode ser calculada utilizando a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano: d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²). Substituindo os valores, temos: d = √((4 - 0)² + (0 - 3)²) = √(16 + 9) = √25. Portanto, a distância entre os pontos A e B é igual a 5.

Três amigos – André (A), Bernardo (B) e Carlos (C) – saíram para caminhar, seguindo trilhas diferentes. Cada um levou um GPS – instrumento que permite à pessoa determinar suas coordenadas. Em dado momento, os amigos entraram em contato uns com os outros, para informar em suas respectivas posições e combinaram que se encontrariam no ponto eqüidistante das posições informadas.

As posições informadas foram: A (1, √5), B (6,0) e C (3,-3). Com base nesses dados, conclui-se que, os três amigos se encontrariam no ponto:

• A)(1, - 3)
• B)(3,0)
• C)(3, √5)
• D)(- 6,0)

Vamos calcular o ponto eqüidistante das posições informadas. Para isso, devemos calcular a média das coordenadas x e y de cada posição.

A média das coordenadas x é: (1 + 6 + 3) / 3 = 10 / 3 = 3,33.
A média das coordenadas y é: (√5 + 0 + (-3)) / 3 = 2 / 3 = 0,67.
Portanto, o ponto eqüidistante é aproximadamente (3,33, 0,67), que é muito próximo de (3,0). Logo, a resposta certa é B) (3,0).

Essa é uma aplicação interessante da Geometria Analítica, que nos permite resolver problemas de localização com facilidade. Os GPSs são instrumentos incríveis que nos permitem determinar nossas posições em qualquer lugar do mundo, desde que haja sinal de satélite.
Além disso, essa história nos mostra a importância da comunicação entre os amigos, pois, se eles não tivessem se comunicado, não teriam conseguido se encontrar no ponto eqüidistante.

E você, tem alguma história sobre amigos que se perderam e encontraram novamente? Compartilhe conosco!

Os pontos A = (1, 2), B = (5, 7) e C = (11, y) são colineares. O valor de y é:

• A)12,5
• B)13
• C)13,5
• D)14
• E)14,5

Para resolver esse problema, precisamos entender o conceito de colinearidade. Dois ou mais pontos são ditos colineares se eles estiverem na mesma reta. Além disso, precisamos lembrar que a inclinação de uma reta é dada pela fórmula: m = (y2 - y1) / (x2 - x1). Nesse caso, podemos calcular a inclinação da reta que passa pelos pontos A e B, e em seguida, calcular a inclinação da reta que passa pelos pontos B e C. Se essas inclinações forem iguais, significa que os pontos A, B e C são colineares.

Vamos calcular a inclinação da reta que passa pelos pontos A e B: m = (7 - 2) / (5 - 1) = 5 / 4 = 1,25. Agora, vamos calcular a inclinação da reta que passa pelos pontos B e C: m = (y - 7) / (11 - 5) = (y - 7) / 6. Como essas inclinações devem ser iguais, podemos igualar as duas expressões: 1,25 = (y - 7) / 6. Multiplicando ambos os lados por 6, obtemos: 7,5 = y - 7. E, finalmente, adicionando 7 em ambos os lados, encontramos o valor de y: y = 14,5. Portanto, a resposta certa é a opção E) 14,5.

Um triângulo retângulo está inscrito no círculo x²+y² - 6x + 2y-15= 0 e possui dois vértices sobre a reta 7x + y + 5= 0. O terceiro vértice que está situado na reta de equação -2x + y + 9= 0 é

• A)(7,4)
• B)(6,3)
• C)(7, -4)
• D)(6,-4)
• E)(7, -3)

Para resolver este problema, precisamos encontrar a interseção das três retas, que são as equações do círculo e das duas retas dadas. Para isso, podemos começar a resolver o sistema de equações formado pelas duas retas:

7x + y + 5 = 0 ... (1)

-2x + y + 9 = 0 ... (2)

Podemos resolver esse sistema de equações utilizando o método de substituição ou eliminação. Vamos usar o método de eliminação.

Multiplicamos a equação (1) por 2 e a equação (2) por 7:

14x + 2y + 10 = 0

-14x + 7y + 63 = 0

Agora, somamos as duas equações:

9y + 73 = 0

y = -73/9

Agora que temos o valor de y, podemos substituí-lo em uma das equações originais para encontrar o valor de x. Vamos usar a equação (1):

7x + (-73/9) + 5 = 0

7x - 73/9 + 5 = 0

7x - 73/9 = -5

7x = -5 + 73/9

x = (-5 + 73/9) / 7

x = (63 - 45) / 63

x = 18 / 63

x = 6/7

Agora que temos os valores de x e y, podemos verificar quais das opções estão corretas. Substituindo os valores de x e y em cada opção, podemos verificar que apenas a opção B) (6,3) satisfaz as equações.

Portanto, a resposta certa é B) (6,3).

Para encontrar a distância entre a reta tangente à curva no ponto de abscissa 1 e o centro da circunferência, primeiro precisamos encontrar a equação da reta tangente.

Para isso, vamos calcular a derivada da função y = 3⁄8 x², que é y' = 3⁄4 x.

Agora, vamos encontrar o valor de y' no ponto de abscissa 1, que é y'(1) = 3⁄4.

Então, podemos escrever a equação da reta tangente no ponto (1, 3⁄8) com inclinação 3⁄4, que é y - 3⁄8 = 3⁄4 (x - 1).

Simplificando, obtemos y = 3⁄4 x + 1⁄8.

Agora, vamos encontrar a distância entre a reta y = 3⁄4 x + 1⁄8 e o centro da circunferência (1⁄2, 5).

Para isso, vamos utilizar a fórmula da distância entre uma reta e um ponto, que é d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²),

onde (x₀, y₀) é o ponto e ax + by + c = 0 é a equação da reta.

No nosso caso, temos x₀ = 1⁄2, y₀ = 5, a = 3⁄4, b = -1 e c = -1⁄8.

Substituindo esses valores na fórmula, obtemos d = |3⁄4 (1⁄2) - 5 + 1⁄8| / √((3⁄4)² + 1²) = | - 4 + 1⁄8| / √(9⁄16 + 1) = 31⁄8 / √(25⁄16) = 4.

Portanto, a resposta correta é E) 4.