A curva definida por y = 3⁄8 x2 é tangenciada no ponto de abscissa 1 por uma reta, cuja distância até o centro da circunferência de equação (x-1⁄ 2 )2 + (y – 5)2 = 1 é igual a

Para encontrar a distância entre a reta tangente à curva no ponto de abscissa 1 e o centro da circunferência, primeiro precisamos encontrar a equação da reta tangente.

Para isso, vamos calcular a derivada da função y = 3⁄8 x², que é y' = 3⁄4 x.

Agora, vamos encontrar o valor de y' no ponto de abscissa 1, que é y'(1) = 3⁄4.

Então, podemos escrever a equação da reta tangente no ponto (1, 3⁄8) com inclinação 3⁄4, que é y - 3⁄8 = 3⁄4 (x - 1).

Simplificando, obtemos y = 3⁄4 x + 1⁄8.

Agora, vamos encontrar a distância entre a reta y = 3⁄4 x + 1⁄8 e o centro da circunferência (1⁄2, 5).

Para isso, vamos utilizar a fórmula da distância entre uma reta e um ponto, que é d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²),

onde (x₀, y₀) é o ponto e ax + by + c = 0 é a equação da reta.

No nosso caso, temos x₀ = 1⁄2, y₀ = 5, a = 3⁄4, b = -1 e c = -1⁄8.

Substituindo esses valores na fórmula, obtemos d = |3⁄4 (1⁄2) - 5 + 1⁄8| / √((3⁄4)² + 1²) = | - 4 + 1⁄8| / √(9⁄16 + 1) = 31⁄8 / √(25⁄16) = 4.

Portanto, a resposta correta é E) 4.