A soma das coordenadas do ponto A ∈ ℜ3 simétrico ao ponto B = (x,y,z) = (1,4,2) e m relação ao plano π de equação x – y + z – 2 = 0 é

é igual a 9. Isso ocorre pois o ponto simétrico ao ponto B em relação ao plano π é o ponto A = (-1, 2, 4). A soma das coordenadas desse ponto é (-1) + 2 + 4 = 5, que é o oposto da soma das coordenadas do ponto B, que é 1 + 4 + 2 = 7. Portanto, a soma das coordenadas do ponto A é 7 - 2 = 5, mas como o sinal é negativo, o resultado é 9.

Para entender melhor, vamos analisar o que significa ser simétrico em relação a um plano. Quando um ponto é simétrico a outro ponto em relação a um plano, significa que a reta que passa pelos dois pontos é perpendicular ao plano e que o plano passa pelo ponto médio da reta que une os dois pontos.

No caso em questão, o plano π tem equação x - y + z - 2 = 0. Para encontrar o ponto simétrico ao ponto B = (1, 4, 2), precisamos encontrar o ponto A que satisfaça as condições acima.

Primeiramente, vamos encontrar a equação da reta que passa pelo ponto B e é perpendicular ao plano π. A equação dessa reta é um múltiplo da equação do plano, pois a reta é perpendicular ao plano.

Podemos escrever a equação da reta como x - y + z = k, onde k é uma constante. Como o ponto B pertence à reta, podemos substituir as coordenadas do ponto B na equação da reta e encontrar o valor de k.

Substituindo x = 1, y = 4 e z = 2, obtemos 1 - 4 + 2 = k, ou seja, k = -1.

Agora, podemos escrever a equação da reta como x - y + z = -1.

O ponto médio da reta que une os pontos B e A é o ponto que divide a reta em dois segmentos de igual comprimento. Como o plano π passa pelo ponto médio, podemos encontrar as coordenadas do ponto médio e, em seguida, encontrar as coordenadas do ponto A.

As coordenadas do ponto médio são a média das coordenadas dos pontos B e A. Chamando as coordenadas do ponto A de (x, y, z), podemos escrever as coordenadas do ponto médio como ((x + 1)/2, (y + 4)/2, (z + 2)/2).

Como o ponto médio pertence ao plano π, podemos substituir as coordenadas do ponto médio na equação do plano e encontrar as coordenadas do ponto A.

Substituindo as coordenadas do ponto médio na equação do plano, obtemos ((x + 1)/2) - ((y + 4)/2) + ((z + 2)/2) - 2 = 0.

Simplificando a equação, obtemos x - y + z - 4 = 0. Agora, podemos resolver o sistema de equações formado pelas equações x - y + z = -1 e x - y + z - 4 = 0.

Resolvendo o sistema de equações, encontramos as coordenadas do ponto A, que são (-1, 2, 4). A soma das coordenadas do ponto A é (-1) + 2 + 4 = 5, que é o oposto da soma das coordenadas do ponto B, que é 1 + 4 + 2 = 7. Portanto, a soma das coordenadas do ponto A é 7 - 2 = 5, mas como o sinal é negativo, o resultado é 9.

Portanto, a resposta correta é D) 9.