Ao mapear um teatro de operações, o comando militar situa uma área triangular ABC no plano cartesiano, com vértices nos pontos A(2,4), B(4,6) e C(6,2), sendo as distâncias em quilômetros. A área dessa região equivale a

Ao mapear um teatro de operações, o comando militar situa uma área triangular ABC no plano cartesiano, com vértices nos pontos A(2,4), B(4,6) e C(6,2), sendo as distâncias em quilômetros. A área dessa região equivale a

• A) 2 km².
• B) 4 km².
• C) 6 km².
• D) 8 km².

Para resolver essa questão, precisamos calcular a área do triângulo ABC. Uma forma de fazê-lo é utilizando a fórmula da área do triângulo em coordenadas cartesianas, que é dada por:

A = (x2 - x1)(y3 - y1) - (x3 - x1)(y2 - y1) / 2

onde (x1, y1), (x2, y2) e (x3, y3) são os vértices do triângulo.

No caso do triângulo ABC, temos:

(x1, y1) = (2, 4), (x2, y2) = (4, 6) e (x3, y3) = (6, 2)

Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:

A = (4 - 2)(2 - 4) - (6 - 2)(6 - 4) / 2

A = -2 - 4 / 2

A = -2 - 2

A = 6 km²

Portanto, o gabarito correto é C) 6 km².

É importante notar que, para resolver esse tipo de questão, é fundamental ter conhecimento das fórmulas de áreas em coordenadas cartesianas e saber aplicá-las corretamente.

Além disso, é fundamental ter atenção ao sinal das áreas, pois a área de um triângulo pode ser positiva ou negativa, dependendo da orientação dos vértices.

No caso do triângulo ABC, a área é positiva, pois os vértices estão orientados no sentido horário.

Já sabemos que a área do triângulo ABC é de 6 km², podemos utilizar essa informação para resolver outros problemas que envolvam esse triângulo.

Por exemplo, se quisermos calcular a altura do triângulo ABC em relação ao lado BC, podemos utilizar a fórmula da altura de um triângulo, que é dada por:

h = 2A / b

onde A é a área do triângulo e b é o comprimento do lado BC.

No caso do triângulo ABC, temos:

b = √((6 - 4)² + (2 - 6)²) = √(2² + 4²) = √(4 + 16) = √20

h = 2(6) / √20

h = 12 / √20

h = 3 km

Portanto, a altura do triângulo ABC em relação ao lado BC é de 3 km.

Essa é apenas uma aplicação das áreas em coordenadas cartesianas, mas existem muitas outras possibilidades de aplicação em problemas de geometria e trigonometria.