As coordenadas dos vértices do triângulo ABC num plano cartesiano são A(–4, 0), B(5, 0) e C(sen θ, cos θ). Sendo θ um arco do primeiro quadrante da circunferência trigonométrica, e sendo a área do triângulo ABC maior que 9⁄4 , o domínio de validade de θ é o conjunto

As coordenadas dos vértices do triângulo ABC num plano cartesiano são A(–4, 0), B(5, 0) e C(sen θ, cos θ). Sendo θ um arco do primeiro quadrante da circunferência trigonométrica, e sendo a área do triângulo ABC maior que 9⁄4, o domínio de validade de θ é o conjunto

• E) {θ | 0 < θ < π/3}

Para encontrar o domínio de validade de θ, precisamos calcular a área do triângulo ABC em função de θ. A área do triângulo pode ser encontrada utilizando a fórmula:

A = (base × altura) / 2

No caso do triângulo ABC, a base é igual a 5 - (-4) = 9 unidades e a altura é igual a sen θ (pois a coordenada y do vértice C é sen θ).

Portanto, a área do triângulo ABC é:

A = (9 × sen θ) / 2

O problema nos diz que a área do triângulo ABC é maior que 9⁄4, então podemos estabelecer a inequação:

(9 × sen θ) / 2 > 9⁄4

Multiplicando ambos os membros da inequação por 2, obtemos:

9 × sen θ > 9⁄2

Dividindo ambos os membros da inequação por 9, obtemos:

sen θ > 1⁄2

Como θ é um arco do primeiro quadrante da circunferência trigonométrica, sabemos que 0 < θ < π⁄2. Além disso, sabemos que sen θ é crescente no primeiro quadrante, portanto:

sen θ > 1⁄2 ⇔ θ > arcsen (1⁄2)

arcsen (1⁄2) ≈ 30° ≈ π⁄6, portanto:

θ > π⁄6

Já que 0 < θ < π⁄2 e θ > π⁄6, o domínio de validade de θ é o conjunto:

{θ | π⁄6 < θ < π⁄3}

Note que o valor de π⁄3 é incluído no domínio de validade pois a área do triângulo ABC pode ser exatamente igual a 9⁄4.