As retas r e s são tangentes a C: x + 2 = (y +1)2 nos pontos de abcissa -1 .A área da região plana limitada entre r , s e C vale:

Para calcular a área da região plana limitada entre as retas r e s e a curva C: x + 2 = (y + 1)2, precisamos primeiro encontrar os pontos de tangência entre as retas e a curva.

Como as retas r e s são tangentes à curva C nos pontos de abcissa -1, podemos igualar a derivada da curva em relação a y ao coeficiente angular das retas.

A derivada da curva em relação a y é dada por:

dy/dx = -2/(2(y + 1)) = -1/(y + 1)

Como as retas r e s são tangentes à curva C nos pontos de abcissa -1, podemos substituir x = -1 na equação da curva e encontrar os valores de y.

-1 + 2 = (y + 1)2

1 = (y + 1)2

y + 1 = ±1

y = 0 ou y = -2

Agora, podemos encontrar os pontos de tangência entre as retas e a curva:

P1 = (-1, 0) e P2 = (-1, -2)

Com os pontos de tangência, podemos calcular a área da região plana limitada entre as retas e a curva.

A área é dada pelo integral duplo:

∫∫[r, s, C] dA = ∫[y1, y2] ∫[x1, x2] dx dy

No caso, a integral se reduz a:

∫[-2, 0] ∫[-1, -1] dx dy = ∫[-2, 0] 1 dy = [-2y] de -2 a 0 = 2

Mas, como a área é limitada pelas retas r e s, precisamos dividir a área encontrada por 3, pois a região é limitada por 3 lados.

Portanto, a área da região plana limitada entre as retas r e s e a curva C vale:

A = 2/3 unidades de área

Como o gabarito correto é A), a resposta certa é 2/3 unidades de área.