Considere quatro pontos distintos coplanares. Das distâncias entre esses pontos, quatro delas valem a e duas delas valem b. O valor máximo da relação (b/a)2 é

Vamos analisar a situação descrita: temos quatro pontos coplanares, o que significa que eles estão no mesmo plano. Das distâncias entre esses pontos, quatro delas valem a e duas delas valem b. Para entender melhor, vamos nomear os pontos como A, B, C e D.

Podemos escolher qualquer um desses pontos como referência. Vamos escolher o ponto A. Então, temos três distâncias que valem a: AB, AC e AD. Além disso, temos duas distâncias que valem b. Podemos escolher essas duas distâncias de diferentes maneiras.

Uma possibilidade é que as duas distâncias que valem b sejam BC e CD. Nesse caso, podemos observar que as distâncias AB e BC são adjacentes e formam um ângulo. O mesmo ocorre com as distâncias CD e DA. Portanto, podemos aplicar o teorema de Pitágoras em ambos os casos.

Para o triângulo ABC, temos:

BC² = AB² + AC²

Como AB = a e BC = b, podemos escrever:

b² = a² + AC²

Agora, para o triângulo ACD, temos:

CD² = AC² + AD²

Como CD = b e AD = a, podemos escrever:

b² = AC² + a²

Comparando as duas equações, podemos concluir que AC² = AC², o que é verdadeiro. Isso significa que essa escolha de distâncias que valem b é válida.

Agora, vamos calcular a relação (b/a)². Temos:

(b/a)² = (b²/a²) = (b²/a²) = (a² + AC²)/a²

Como AC² é sempre positivo, a relação (b/a)² é sempre maior ou igual a 1. Além disso, como AC não pode ser zero (senão os pontos A, B e C seriam colineares), a relação (b/a)² é sempre maior que 1.

Agora, vamos analisar as opções:

• A) 2: É uma possibilidade, pois a relação (b/a)² pode ser 2.
• B) 1 + √3: Não é possível, pois a relação (b/a)² é sempre maior que 1.
• C) 2 + √3: É a resposta correta, pois a relação (b/a)² pode alcançar esse valor.
• D) 1 + 2√2: Não é possível, pois a relação (b/a)² é sempre maior que 1.
• E) 2 + 2√3: Não é possível, pois a relação (b/a)² é sempre menor que essa opção.

Portanto, a resposta correta é C) 2 + √3.