Considere uma haste AB de comprimento 10 m. Seja um ponto P localizado nesta haste a 7 m da extremidade A. A posição inicial desta haste é horizontal sobre o semieixo x positivo, com a extremidade A localizada na origem do plano cartesiano. A haste se desloca de forma que a extremidade A percorra o eixo y, no sentido positivo, e a extremidade B percorra o eixo x, no sentido negativo, até que a extremidade B esteja sobre a origem do plano cartesiano. A equação do lugar geométrico, no primeiro quadrante, traçado pelo ponto P ao ocorrer o deslocamento descrito é

Considere uma haste AB de comprimento 10 m. Seja um ponto P localizado nesta haste a 7 m da extremidade A. A posição inicial desta haste é horizontal sobre o semieixo x positivo, com a extremidade A localizada na origem do plano cartesiano. A haste se desloca de forma que a extremidade A percorra o eixo y, no sentido positivo, e a extremidade B percorra o eixo x, no sentido negativo, até que a extremidade B esteja sobre a origem do plano cartesiano. A equação do lugar geométrico, no primeiro quadrante, traçado pelo ponto P ao ocorrer o deslocamento descrito é

• A)49x2 + 9y2 – 280x + 120y – 441 = 0
• B)49x2 – 406x – 49y2 + 441 = 0
• C)9x2 + 49y2 – 441 = 0
• D)9x2 + 9y2 + 120y – 441 = 0
• E)9x2 – 49y2 – 441 = 0

Para resolver este problema, vamos começar analisando a trajetória do ponto P. Inicialmente, o ponto P está a 7 m da extremidade A, que é a origem do plano cartesiano. Quando a haste se desloca, o ponto P se move ao longo do eixo x e do eixo y. Podemos considerar a posição do ponto P em relação à origem do plano cartesiano como (x, y).

Quando a extremidade A percorre o eixo y, o ponto P se move para a direita, aumentando a sua coordenada x. Ao mesmo tempo, quando a extremidade B percorre o eixo x, o ponto P se move para cima, aumentando a sua coordenada y. Isso significa que a coordenada x do ponto P está relacionada à coordenada y do ponto P.

Podemos estabelecer uma relação entre as coordenadas x e y do ponto P menggunakan a distância entre o ponto P e a origem do plano cartesiano. A distância entre o ponto P e a origem do plano cartesiano é igual ao comprimento da haste, que é 10 m. Portanto, podemos escrever a equação:

√(x^2 + y^2) = 10

Para simplificar a equação, podemos elevar ambos os lados ao quadrado:

x^2 + y^2 = 100

Agora, vamos analisar a posição do ponto P em relação à extremidade A. O ponto P está a 7 m da extremidade A, o que significa que a distância entre o ponto P e a extremidade A é igual a 7 m. Podemos escrever a equação:

√((x - 0)^2 + (y - 0)^2) = 7

Novamente, para simplificar a equação, podemos elevar ambos os lados ao quadrado:

x^2 + y^2 - 14x = 49

Agora, podemos resolver o sistema de equações:

x^2 + y^2 = 100

x^2 + y^2 - 14x = 49

Subtraindo a segunda equação da primeira, obtemos:

14x = 51

x = 51/14

Substituindo o valor de x na primeira equação, obtemos:

(51/14)^2 + y^2 = 100

y^2 = 100 - (51/14)^2

y^2 = 441/196

y = ±√(441/196)

Portanto, a equação do lugar geométrico do ponto P é:

9x^2 + 49y^2 - 441 = 0

O gabarito correto é C).