Dados os pontos A(k, 2), B(3, 1) e C(1, –2), para que a distância entre A e B seja igual à distância entre A e C, o valor de k deve ser

Vamos calcular as distâncias entre os pontos A e B, e entre A e C. Para isso, utilizaremos a fórmula de distância entre dois pontos no plano: d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2).

Primeiramente, calculemos a distância entre A e B:

d(A, B) = √((3 - k)^2 + (1 - 2)^2)

d(A, B) = √((3 - k)^2 + (-1)^2)

d(A, B) = √((3 - k)^2 + 1)

Agora, calculemos a distância entre A e C:

d(A, C) = √((1 - k)^2 + (-2 - 2)^2)

d(A, C) = √((1 - k)^2 + (-4)^2)

d(A, C) = √((1 - k)^2 + 16)

Como queremos que a distância entre A e B seja igual à distância entre A e C, podemos igualar as duas expressões:

√((3 - k)^2 + 1) = √((1 - k)^2 + 16)

Elevando ambos os membros ao quadrado, obtemos:

((3 - k)^2 + 1) = ((1 - k)^2 + 16)

Expanding as igualdades, obtemos:

(9 - 6k + k^2 + 1) = (1 - 2k + k^2 + 16)

Simplificando a equação, obtemos:

10 - 6k = -15 - 2k

4k = -25

k = -25/4

k = -25/4