Determine a equação da reta que passa pela origem do sistema cartesiano e é tangente à parábola de equação x2 − y + 2 = 0 num ponto do 2º quadrante.

Vamos começar encontrando o ponto de tangência entre a reta e a parábola. Para isso, podemos utilizar a fórmula da derivada da parábola em relação a x, que é d(y)/dx = 2x. No ponto de tangência, a inclinação da reta é igual à inclinação da parábola, então podemos igualar a derivada à inclinação da reta.

Seja o ponto de tangência (a, b). Então, a inclinação da reta é b/a. Além disso, como a reta passa pela origem, sua equação é y = mx, onde m é a inclinação. Substituindo x = a e y = b nessa equação, temos b = ma.

Agora, igualamos a derivada da parábola à inclinação da reta:

2a = b/a

Isso nos permite encontrar a relação entre a e b:

a² = b²/4

Substituindo essa relação na equação da parábola, temos:

a² - b + 2 = 0

b²/4 - b + 2 = 0

b² - 4b + 8 = 0

(b - 2√2)(b - 2√2) = 0

b = 2√2

Agora que encontramos o valor de b, podemos encontrar o valor de a:

a = ±√2

Como o ponto de tangência está no 2º quadrante, a é negativo. Então, a = -√2.

Substituindo os valores de a e b na equação da reta, temos:

y = b/a x

y = 2√2/-√2 x

y = -√2 x

x + √2 y = 0

Portanto, a resposta correta é E) x + √2 y = 0.