Devido ao crescimento no número de ocorrências violentas em determinado bairro decidiu-se instalar um posto policial cuja localização foi escolhida, por razões estratégicas, tomando-se como referência três regiões − R1, R2, R3 − de maior incidência de eventos dessa natureza. Se R1, R2, R3 forem representadas no plano cartesiano por (6,1), (6,9) e (13,1), respectivamente, então o posto deverá ser representado por um ponto P, o mais próximo possível de R1 e R2, equidistante destes e, além disso, a uma distância de 5u.c. de R3. Assim sendo, a medida da distância do ponto P a R2, em unidades de comprimento, deverá ser, aproximadamente, igual a
Devido ao crescimento no número de ocorrências violentas em determinado bairro
decidiu-se instalar um posto policial cuja localização foi escolhida, por razões estratégicas,
tomando-se como referência três regiões − R1, R2, R3 − de maior incidência de eventos
dessa natureza. Se R1, R2, R3 forem representadas no plano cartesiano por (6,1), (6,9)
e (13,1), respectivamente, então o posto deverá ser representado por um ponto P, o mais
próximo possível de R1 e R2, equidistante destes e, além disso, a uma distância de 5u.c.
de R3.
Assim sendo, a medida da distância do ponto P a R2, em unidades de comprimento,
deverá ser, aproximadamente, igual a
- A)4,0.
- B)4,7.
- C)5,3.
- D)5,6.
- E)6,2.
Resposta:
A alternativa correta é D)
Devido ao crescimento no número de ocorrências violentas em determinado bairro decidiu-se instalar um posto policial cuja localização foi escolhida, por razões estratégicas, tomando-se como referência três regiões − R1, R2, R3 − de maior incidência de eventos dessa natureza. Se R1, R2, R3 forem representadas no plano cartesiano por (6,1), (6,9) e (13,1), respectivamente, então o posto deverá ser representado por um ponto P, o mais próximo possível de R1 e R2, equidistante destes e, além disso, a uma distância de 5u.c. de R3.
Para encontrar o ponto P, podemos utilizar a equação da distância entre dois pontos no plano cartesiano. Seja P(x, y) o ponto que estamos procurando. Então, a distância entre P e R1 é d(P, R1) = √((x - 6)2 + (y - 1)2). Já a distância entre P e R2 é d(P, R2) = √((x - 6)2 + (y - 9)2). Como P deve ser equidistante de R1 e R2, temos que d(P, R1) = d(P, R2).
Substituindo as equações acima, temos que √((x - 6)2 + (y - 1)2) = √((x - 6)2 + (y - 9)2). Elevando ambos os membros ao quadrado, temos que (x - 6)2 + (y - 1)2 = (x - 6)2 + (y - 9)2. Simplificando, temos que y2 - 2y + 1 = y2 - 18y + 81, ou seja, 16y = 80, o que implica que y = 5.
Como P também deve estar a uma distância de 5u.c. de R3, temos que d(P, R3) = 5. Substituindo P(x, 5), temos que √((x - 13)2 + (5 - 1)2) = 5. Elevando ambos os membros ao quadrado, temos que (x - 13)2 + 16 = 25. Simplificando, temos que x2 - 26x + 144 = 0, o que implica que x = 10 ou x = 14.4.
Como o ponto P deve ser o mais próximo possível de R1 e R2, escolhemos x = 10. Portanto, P(10, 5) é o ponto que estamos procurando.
Agora, podemos calcular a distância entre P e R2. Temos que d(P, R2) = √((10 - 6)2 + (5 - 9)2) = √(16 + 16) = √32 ≈ 5,6.
- A)4,0.
- B)4,7.
- C)5,3.
- D)5,6.
- E)6,2.
Portanto, a medida da distância do ponto P a R2, em unidades de comprimento, é aproximadamente igual a 5,6, que é a opção D.
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