Dois pontos, A e B,localizados no primeiro quadrante do plano cartesiano, estão ligados por uma reta. Sabendo que B está localizado geometricamente em (6;5) e que o ponto médio da reta que liga estes dois pontos está localizado em (4,3), assinale a alternativa CORRETA que determina a localização do ponto A:

Vamos resolver esse problema de geometria analítica de uma maneira fácil e intuitiva. Primeiramente, vamos lembrar que o ponto médio de uma reta que liga dois pontos é o ponto que divide a reta em dois segmentos de mesmo comprimento. Em outras palavras, é o ponto que está equidistante dos dois pontos.

Seja M o ponto médio da reta que liga A e B. Como M está localizado em (4,3), podemos concluir que a distância entre A e M é igual à distância entre M e B.

Além disso, como B está localizado em (6,5), podemos utilizar a fórmula da distância entre dois pontos para calcular a distância entre M e B.

A distância entre M e B é d(M,B) = √((6-4)^2 + (5-3)^2) = √(2^2 + 2^2) = √(4 + 4) = √8.

Agora, vamos calcular a distância entre A e M. Como A e M estão localizados no primeiro quadrante do plano cartesiano, podemos concluir que as coordenadas de A são (x, y), onde x e y são números positivos.

Como a distância entre A e M é igual à distância entre M e B, podemos escrever a equação:

d(A,M) = d(M,B) => √((x-4)^2 + (y-3)^2) = √8

Agora, vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:

(x-4)^2 + (y-3)^2 = 8

Expanding the equation, we get:

x^2 - 8x + 16 + y^2 - 6y + 9 = 8

Simplifying the equation, we get:

x^2 - 8x + y^2 - 6y = -17

Agora, vamos tentar encontrar as coordenadas de A que satisfazem essa equação.

Analizando as opções, vemos que A (2,1) é a única opção que satisfaz a equação.

Portanto, a alternativa CORRETA é D) A (2,1).