Em uma cidade existem três locais onde é grande o risco de incêndio: uma fábrica de tecidos (F), uma distribuidora de combustível (D) e uma usina de álcool (U). Se forem representadas no plano cartesiano, as coordenadas são: F(2,1), U(2,9) e D(20,8), com unidade em km. Por razões técnicas, o Corpo de Bombeiros deseja instalar uma brigada de incêndio em um ponto entre essas unidades, que seja equidistante da usina de álcool e da fábrica de tecidos, e a 5 km da distribuidora de combustível. Nesse caso e considerando os dados, a distância dessa unidade do CB à fabrica de tecidos deverá ser

Para encontrar o ponto equidistante da usina de álcool e da fábrica de tecidos, podemos calcular a média das coordenadas x e y desses dois pontos. A média das coordenadas x é (2 + 2) / 2 = 2, e a média das coordenadas y é (1 + 9) / 2 = 5. Portanto, o ponto equidistante é (2, 5).

Agora, precisamos encontrar o ponto que está a 5 km da distribuidora de combustível e passa pelo ponto equidistante (2, 5). Podemos desenhar um círculo com centro na distribuidora de combustível e raio de 5 km. O ponto de interseção desse círculo com a linha que passa pelo ponto equidistante (2, 5) é o ponto que estamos procurando.

Para calcular a distância da brigada de incêndio à fábrica de tecidos, podemos usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano: d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2). Substituindo os valores, temos: d = √((2 - 2)^2 + (5 - 1)^2) = √(0 + 16) = √16 = 4 km.

No entanto, isso não é o suficiente, pois precisamos encontrar o ponto que está a 5 km da distribuidora de combustível. Podemos calcular a distância entre o ponto (2, 5) e a distribuidora de combustível: d = √((20 - 2)^2 + (8 - 5)^2) = √((18)^2 + (3)^2) = √(324 + 9) = √333. Agora, precisamos encontrar o ponto que está a 5 km da distribuidora de combustível e está na linha que passa pelo ponto (2, 5).

Podemos usar a fórmula da distância para encontrar o ponto. Seja (x, y) o ponto que estamos procurando. Então, devemos ter: √((x - 20)^2 + (y - 8)^2) = 5. Elevando ao quadrado ambos os lados, temos: (x - 20)^2 + (y - 8)^2 = 25. Além disso, sabemos que o ponto (x, y) está na linha que passa pelo ponto (2, 5), então podemos escrever: y = 5 + (x - 2) / 3, pois a inclinação da linha é igual a 1/3.

Substituindo essa expressão para y na equação anterior, temos: (x - 20)^2 + (5 + (x - 2) / 3 - 8)^2 = 25. Simplificando, temos: (x - 20)^2 + ((x - 2) / 3 - 3)^2 = 25. Expandido, isso se torna: x^2 - 40x + 400 + x^2 / 9 - 20x / 3 + 100 / 9 = 25. Multiplicando tudo por 9, temos: 9x^2 - 360x + 3600 + x^2 - 60x + 100 = 225. Simplificando novamente, temos: 10x^2 - 420x + 3375 = 0.

Essa é uma equação de segundo grau. Podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a. Nesse caso, a = 10, b = -420 e c = 3375. Substituindo, temos: x = (420 ± √((-420)^2 - 4 * 10 * 3375)) / 20. Simplificando, temos: x = (420 ± √(176400 - 135000)) / 20 = (420 ± √41400) / 20.

Calculando, encontramos: x ≈ 14,36 ou x ≈ 23,64. O ponto que estamos procurando é o que está mais próximo do ponto (2, 5), então x ≈ 14,36. Agora, podemos calcular a distância da brigada de incêndio à fábrica de tecidos: d = √((14,36 - 2)^2 + (5 + (14,36 - 2) / 3 - 1)^2) ≈ √((12,36)^2 + (5,45)^2) ≈ √(152,37 + 29,80) ≈ √182,17 ≈ 13,50 km.

Portanto, a resposta certa é C) entre 14 km e 15 km.