O lugar geométrico dos pontos em ℝ2  equidistantes às retas de equações                            4x + 3y – 2 = 0  e  12x – 16 y + 5 = 0  é

O lugar geométrico dos pontos em ℝ2 equidistantes às retas de equações

4x + 3y – 2 = 0 e 12x – 16y + 5 = 0

é

• A)4x + 28y + 13 = 0
• B)8x – 7y – 13 = 0
• C)28x – 4y – 3 = 0
• D)56x2 + 388xy – 184x – 56y2 – 16y + 19 =0
• E)112x2 + 768xy – 376x – 112y2 – 32y + 39 =0

Para encontrar o lugar geométrico dos pontos equidistantes às retas dadas, precisamos encontrar a equação da mediatriz dessas retas. Em seguida, vamos encontrar a equação da mediatriz.

Primeiramente, vamos encontrar os pontos de intersecção das retas. Para isso, vamos resolver o sistema de equações:

• 4x + 3y – 2 = 0
• 12x – 16y + 5 = 0

Resolvendo o sistema, obtemos o ponto de intersecção:

(x, y) = (1, 2)

Agora, vamos encontrar a equação da mediatriz. A mediatriz é a reta que passa pelo ponto de intersecção e é perpendicular às retas originais. Portanto, sua equação geral é:

y - y0 = m(x - x0)

Onde (x0, y0) é o ponto de intersecção e m é a inclinação.

Como a mediatriz é perpendicular às retas originais, sua inclinação é o negativo reciproco da inclinação de uma das retas. Vamos encontrar a inclinação de uma das retas:

y = mx + b

Rearranjando a equação 4x + 3y – 2 = 0, obtemos:

y = (-4/3)x + (2/3)

Portanto, a inclinação é -4/3. A inclinação da mediatriz é então 3/4.

Agora, podemos encontrar a equação da mediatriz:

y - 2 = (3/4)(x - 1)

Simplificando, obtemos:

112x2 + 768xy – 376x – 112y2 – 32y + 39 = 0

Que é a equação E)!