Para que os pontos A(2, 0), B(a, 1) e C(a + 1, 2) estejam alinhados, é necessário que o valor de a seja

Para que os pontos A(2, 0), B(a, 1) e C(a + 1, 2) estejam alinhados, é necessário que o valor de a seja

• A)5.
• B)4.
• C)3.
• D)2.

Para resolver este problema, precisamos entender o que significa que três pontos estejam alinhados. Dois pontos quaisquer sempre estão alinhados, pois uma reta pode passar por eles. Já três pontos estão alinhados se uma reta única passar por todos eles.

No caso dos pontos A, B e C, podemos escrever as equações das retas que passam por pares de pontos. Por exemplo, a equação da reta que passa por A e B é y = mx + n, onde m é a inclinação da reta e n é o coeficiente linear.

Já a equação da reta que passa por B e C é y = p(x - a) + 1, pois passa pelo ponto B(a, 1). A inclinação p é desconhecida, mas sabemos que a reta passa pelo ponto C(a + 1, 2). Substituindo essas coordenadas na equação da reta, temos:

2 = p(a + 1 - a) + 1 => 2 = p + 1 => p = 1.

Agora que conhecemos a inclinação da reta que passa por B e C, podemos escrever a equação da reta: y = x - a + 1.

Para que os três pontos estejam alinhados, a equação da reta que passa por A e B deve ser igual à equação da reta que passa por B e C. Portanto, podemos igualar as duas equações:

y = mx + n = y = x - a + 1

Como o ponto A(2, 0) está na reta, podemos substituir suas coordenadas na equação:

0 = m(2) + n => 0 = 2m + n.

Agora, precisamos encontrar o valor de a que satisfaça essa equação. Substituindo a equação da reta y = x - a + 1 na equação anterior, temos:

0 = m(2) + n => 0 = 2m + (-a + 1) => 0 = 2m - a + 1.

Como m é a inclinação da reta que passa por A e B, podemos calcular sua valor usando o ponto B(a, 1):

m = (1 - 0) / (a - 2) => m = 1 / (a - 2).

Substituindo esse valor na equação anterior, temos:

0 = 2(1 / (a - 2)) - a + 1 => 0 = 2 / (a - 2) - a + 1.

Para resolver essa equação, podemos multiplicar ambos os lados por (a - 2), resultando em:

0 = 2 - a^2 + 3a - 2 => 0 = -a^2 + 3a.

Dividindo ambos os lados por -1, temos:

a^2 - 3a = 0 => a(a - 3) = 0.

Portanto, a = 0 ou a = 3. No entanto, se a = 0, os pontos B e C coincidiriam, o que não é possível. Logo, a resposta correta é a = C) 3.