São dados, no plano cartesiano, o ponto P de coordenadas ( 3, 6 ) e a circunferência C de equação ( x – 1 )2 + ( y – 2 )2 = 1 . Uma reta t passa por P e é tangente a C em um ponto Q. Então a distância de P a Q é

São dados, no plano cartesiano, o ponto P de coordenadas ( 3, 6 ) e a circunferência C de equação ( x - 1 )² + ( y - 2 )² = 1 . Uma reta t passa por P e é tangente a C em um ponto Q. Então a distância de P a Q é

• E) 5

Para resolver esse problema, devemos encontrar a equação da reta tangente à circunferência em um ponto Q. Primeiramente, vamos encontrar a equação da reta que passa pelo ponto P. Utilizando a fórmula point-slope, temos:

y - 6 = m(x - 3)

onde m é a inclinação da reta.

Agora, vamos encontrar a equação da circunferência C. Expandindo a equação dada, obtemos:

(x - 1)² + (y - 2)² = 1

x² - 2x + 1 + y² - 4y + 4 = 1

x² - 2x + y² - 4y + 4 = 0

Para encontrar a interseção entre a reta e a circunferência, devemos substituir a equação da reta na equação da circunferência:

y - 6 = m(x - 3)

y = mx - 3m + 6

Substituindo essa equação na equação da circunferência, obtemos:

x² - 2x + (mx - 3m + 6)² - 4(mx - 3m + 6) + 4 = 0

Expandido, isso se torna:

x² - 2x + m²x² - 6mx + 9m² + 12mx - 36m + 36 - 4mx + 12m - 24 = 0

(1 + m²)x² + (-2 - 10m)x + (9m² + 12m - 24) = 0

Essa é uma equação de segundo grau em relação à variável x. Para que a reta seja tangente à circunferência, o discriminante dessa equação deve ser igual a zero:

(-2 - 10m)² - 4(1 + m²)(9m² + 12m - 24) = 0

Resolvendo essa equação, encontramos dois valores possíveis para m:

m = -2 ou m = 2/3

Substituindo esses valores na equação da reta, obtemos:

y - 6 = -2(x - 3) ou y - 6 = (2/3)(x - 3)

y = -2x + 12 ou y = (2/3)x - 2

Agora, devemos encontrar a interseção entre essas retas e a circunferência:

Para a reta y = -2x + 12:

x² - 2x + (-2x + 12 - 2)² = 1

x² - 2x + 4x² - 48x + 144 = 1

5x² - 50x + 143 = 0

x = 7 ou x = 4.2

Para a reta y = (2/3)x - 2:

x² - 2x + ((2/3)x - 2 - 2)² = 1

x² - 2x + (4/9)x² - (16/3)x + 16 = 1

(13/9)x² - (22/3)x + 17 = 0

x = 3 ou x = 3.45

Desconsiderando os valores de x que não são reais, temos quatro possibilidades para o ponto Q:

Q(7, -2), Q(4.2, 2.4), Q(3, 0) ou Q(3.45, 2.23)

Calculando a distância de P a cada um desses pontos, obtemos:

PQ = √((7 - 3)² + (-2 - 6)²) = √(4² + 8²) = √(16 + 64) = √80 ≈ 8.94

PQ = √((4.2 - 3)² + (2.4 - 6)²) = √(1.2² + 3.6²) = √(1.44 + 12.96) = √14.4 ≈ 3.79

PQ = √((3 - 3)² + (0 - 6)²) = √(0² + 6²) = √(0 + 36) = √36 = 6

PQ = √((3.45 - 3)² + (2.23 - 6)²) = √(0.45² + 3.77²) = √(0.2025 + 14.2329) = √14.4354 ≈ 3.79

Portanto, a resposta correta é D) 4.