Seja AB  um dos catetos de um triângulo retângulo e isósceles ABC, retângulo em A, com A(1;1) e B(5;1). Quais as coordenadas cartesianas do vértice C , sabendo que este vértice pertence ao primeiro quadrante?

Para resolver este problema, precisamos encontrar as coordenadas cartesianas do vértice C do triângulo retângulo e isósceles ABC. Como o triângulo é isósceles, os catetos AB e AC têm o mesmo comprimento.

Primeiramente, vamos encontrar o comprimento do cateto AB. Como A(1;1) e B(5;1), podemos usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano:

• d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

Substituindo os valores, temos:

• d = √((5 - 1)² + (1 - 1)²)
• d = √(4² + 0²)
• d = √(16 + 0)
• d = √16
• d = 4

Portanto, o comprimento do cateto AB é 4 unidades.

Agora, como o triângulo é isósceles, o cateto AC também tem comprimento 4 unidades. Além disso, como o triângulo é retângulo em A, o vértice C pertence ao primeiro quadrante e sua coordenada y é maior que a coordenada y do vértice A (1;1).

Para encontrar as coordenadas cartesianas do vértice C, podemos usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano novamente, desta vez com o vértice A e o vértice C:

• d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

Substituindo os valores, temos:

• 4 = √((x - 1)² + (y - 1)²)

Elevando ambos os lados ao quadrado, temos:

• 16 = ((x - 1)² + (y - 1)²)

Como o vértice C pertence ao primeiro quadrante, sabemos que x > 1 e y > 1. Além disso, como o triângulo é isósceles, o vértice C está equidistante dos vértices A e B.

Portanto, podemos concluir que o vértice C tem coordenadas (1;5), pois esta é a única opção que satisfaz as condições acima.

Logo, a resposta correta é B) (1;5).