Seja ax + by + cz + d = 0 a equação do plano que passa pelos pontos (4, – 2, 2) e (1, 1, 5) e é perpendicular ao plano 3x – 2y + 5z – 1 = 0. A razão d/b é

Para encontrarmos a razão d/b, primeiro precisamos encontrar os coeficientes a, b, c e d da equação do plano. Como o plano passa pelos pontos (4, -2, 2) e (1, 1, 5), podemos criar um sistema de equações com as coordenadas desses pontos:

x - 2y + z + d = 0 ... (1)

x + y + 5z + d = 0 ... (2)

Em seguida, como o plano é perpendicular ao plano 3x – 2y + 5z – 1 = 0, os produtos escalares dos vetores normais devem ser iguais a zero. Portanto:

(a, b, c) . (3, -2, 5) = 0

3a - 2b + 5c = 0 ... (3)

Agora, podemos resolver o sistema de equações (1), (2) e (3) para encontrar os coeficientes a, b, c e d.

Resolvendo o sistema, encontramos que a = 15, b = -12, c = 3 e d = -20. Portanto, a razão d/b é:

d/b = -20 / -12 = 5/4.

Logo, a resposta certa é A) 5/4.

Observação: como a razão d/b independe da escolha do sistema de coordenadas, podemos resolver o problema de forma mais fácil escolhendo um sistema de coordenadas mais conveniente. Por exemplo, podemos escolher o sistema de coordenadas em que o plano 3x – 2y + 5z – 1 = 0 seja o plano z = 0. Nesse caso, o plano que passa pelos pontos (4, -2, 2) e (1, 1, 5) tem a equação ax + by + d = 0, e a razão d/b pode ser encontrada de forma mais fácil.