Sejam A(-a, 0) e B(a, 0) dois pontos distintos do plano onde a é a metade da distância entre A e B . Considerando o sistema de coordenadas polares (r, θ),r ≥ e 0 ≤ θ ≤2 π o lugar geométrico dos pontos P do plano, tais que PA . PB = a2 tem equação dada por:

Sejam A(-a, 0) e B(a, 0) dois pontos distintos do plano onde a é a metade da distância entre A e B . Considerando o sistema de coordenadas polares (r, θ),r ≥ e 0 ≤ θ ≤2 π o lugar geométrico dos pontos P do plano, tais que PA . PB = a2 tem equação dada por:

• A)r2 = a2 cosθ
• B)r2 = 2a cos(θ)
• C)r = a cos(2θ)
• D)r = 2acos(2θ)
• E)r2 = 2a2 cos(2θ)

Vamos analisar cada uma das opções acima:

Opção A)r2 = a2 cosθ: essa opção não é verdadeira, pois a equação não é uma equação de segundo grau.

Opção B)r2 = 2a cos(θ): essa opção também não é verdadeira, pois a equação não é uma equação de segundo grau.

Opção C)r = a cos(2θ): essa opção não é verdadeira, pois a equação não é uma equação de segundo grau.

Opção D)r = 2acos(2θ): essa opção não é verdadeira, pois a equação não é uma equação de segundo grau.

Opção E)r2 = 2a2 cos(2θ): essa opção é verdadeira, pois a equação é uma equação de segundo grau.

Para entender porque a opção E é a correta, vamos analisar a figura abaixo:

Nessa figura, podemos ver que o ponto P tem coordenadas polares (r, θ) e que os pontos A e B têm coordenadas polares (-a, 0) e (a, 0), respectivamente.

Além disso, podemos ver que o triângulo APB é isósceles, pois PA . PB = a2.

Portanto, utilizando a lei dos cossenos, podemos escrever:

PA2 = PB2 + a2 - 2PBa cos(θ)

r2 = a2 + a2 - 2a2 cos(θ)

r2 = 2a2 - 2a2 cos(θ)

r2 = 2a2 (1 - cos(θ))

r2 = 2a2 (1 - cos(2θ)/2)

r2 = 2a2 (1/2 - cos(2θ)/2)

r2 = 2a2 (1/2 - 1/2 cos(2θ))

r2 = 2a2 (1 - cos(2θ))

r2 = 2a2 cos(2θ)

Portanto, a equação do lugar geométrico dos pontos P é r2 = 2a2 cos(2θ), que é a opção E.