Sejam os pontos A(−2, 2), B(2, −1) e C(5, k). Se a distância entre A e B é a mesma que a entre B e C, a soma dos possíveis valores de k é
Sejam os pontos A(−2, 2), B(2, −1) e C(5, k). Se a distância
entre A e B é a mesma que a entre B e C, a soma dos possíveis
valores de k é
- A)1.
- B)0.
- C)−1.
- D)−2.
Resposta:
A alternativa correta é D)
Vamos calcular a distância entre A e B utilizando a fórmula de distância entre dois pontos no plano cartesiano:
D(A, B) = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
Substituindo os valores dos pontos A e B, temos:
D(A, B) = √((2 - (-2))^2 + (-1 - 2)^2)
D(A, B) = √((4)^2 + (-3)^2)
D(A, B) = √(16 + 9)
D(A, B) = √25
D(A, B) = 5
Agora, vamos calcular a distância entre B e C utilizando a mesma fórmula:
D(B, C) = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
Substituindo os valores dos pontos B e C, temos:
D(B, C) = √((5 - 2)^2 + (k - (-1))^2)
D(B, C) = √((3)^2 + (k + 1)^2)
D(B, C) = √(9 + (k + 1)^2)
Como a distância entre A e B é a mesma que a entre B e C, podemos igualar as duas expressões:
√25 = √(9 + (k + 1)^2)
Elevando ao quadrado ambos os membros da equação, temos:
25 = 9 + (k + 1)^2
Subtraindo 9 de ambos os membros da equação, temos:
16 = (k + 1)^2
Tirando a raiz quadrada de ambos os membros da equação, temos:
±4 = k + 1
Subtraindo 1 de ambos os membros da equação, temos:
k = -1 ± 4
Portanto, os valores possíveis de k são -5 e 3. A soma desses valores é:
-5 + 3 = -2
Logo, a resposta correta é D) -2.
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