Uma empresa armazena em um grande depósito central a produção de suas peças produzidas em 3 fábricas distintas: A, B e C. Sabe-se que a produção de A é 3 vezes a de C e a de B é duas vezes a de C. As proporções de produção defeituosa são: 3% de A, 2% de B e 5% de C. Retira-se aleatoriamente do depósito uma peça e verifica- se que é defeituosa. A probabilidade de que tenha sido fabricada por C é
Uma empresa armazena em um grande depósito central a produção de suas peças produzidas em 3 fábricas distintas: A, B e C. Sabe-se que a produção de A é 3 vezes a de C e a de B é duas vezes a de C. As proporções de produção defeituosa são: 3% de A, 2% de B e 5% de C. Retira-se aleatoriamente do depósito uma peça e verifica- se que é defeituosa. A probabilidade de que tenha sido fabricada por C é
- A)3/7..
- B)4/9.
- C)5/7.
- D)7/12.
- E)5/18.
Resposta:
A alternativa correta é E)
Para resolver o problema, vamos utilizar o Teorema de Bayes, que permite calcular a probabilidade de um evento com base em informações prévias. O objetivo é determinar a probabilidade de uma peça defeituosa ter sido fabricada pela fábrica C.
Primeiro, vamos definir as produções relativas de cada fábrica:
- Seja a produção de C igual a x.
- A produção de A é 3 vezes a de C, ou seja, 3x.
- A produção de B é 2 vezes a de C, ou seja, 2x.
A produção total das três fábricas é:
Total = A + B + C = 3x + 2x + x = 6x
As probabilidades de uma peça ser produzida por cada fábrica são:
- P(A) = 3x / 6x = 1/2
- P(B) = 2x / 6x = 1/3
- P(C) = x / 6x = 1/6
As taxas de defeitos por fábrica são:
- P(D|A) = 3% = 0,03
- P(D|B) = 2% = 0,02
- P(D|C) = 5% = 0,05
A probabilidade total de uma peça ser defeituosa (P(D)) é a soma das probabilidades condicionais:
P(D) = P(A) * P(D|A) + P(B) * P(D|B) + P(C) * P(D|C)
P(D) = (1/2 * 0,03) + (1/3 * 0,02) + (1/6 * 0,05)
P(D) = 0,015 + 0,006666... + 0,008333... ≈ 0,03
Agora, aplicamos o Teorema de Bayes para calcular a probabilidade de a peça defeituosa ter sido produzida por C:
P(C|D) = [P(C) * P(D|C)] / P(D)
P(C|D) = (1/6 * 0,05) / 0,03 ≈ (0,008333...) / 0,03 ≈ 5/18
Portanto, a probabilidade correta é:
E) 5/18
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