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Considerando que, em determinada população, a probabilidade de um indivíduo recém-nascido sobreviver pelo menos até a idade x, medida em anos, é dada pela função de sobrevivência S(x)= 1 – x2/10.000, julgue os itens a seguir.Nessa população, a expectativa de vida de um indivíduo ao nascer é superior a 70 anos.
Considerando que, em determinada população, a probabilidade de um indivíduo recém-nascido sobreviver pelo menos até a idade x, medida em anos, é dada pela função de sobrevivência S(x)= 1 – x2/10.000, julgue os itens a seguir.
Nessa população, a expectativa de vida de um indivíduo ao nascer é superior a 70 anos.
- C) CERTO
- E) ERRADO
Resposta:
A alternativa correta é E)
Para calcular a expectativa de vida de um indivíduo ao nascer, devemos calcular a integral da função de sobrevivência S(x) de 0 a infinito. Isso significa que a expectativa de vida é dada pela fórmula:
E(x) = ∫[0, ∞) x * S(x) dx
Substituindo a função de sobrevivência S(x) = 1 – x2/10.000, temos:
E(x) = ∫[0, ∞) x * (1 – x2/10.000) dx
Para resolver essa integral, podemos começar separando a integral em duas partes:
E(x) = ∫[0, ∞) x dx - ∫[0, ∞) x3/10.000 dx
A primeira integral é uma integral básica e pode ser resolvida facilmente:
∫[0, ∞) x dx = [x2/2] [0, ∞) = ∞
No entanto, a segunda integral não converge, pois o limite superior é infinito e a função x3/10.000 cresce mais rápido que x2 quando x aumenta.
Portanto, a expectativa de vida E(x) não é finita e certamente não é superior a 70 anos. Logo, a resposta certa é:
- E) ERRADO
Essa resposta pode parecer contra-intuitiva, pois a função de sobrevivência S(x) sugere que a probabilidade de sobrevivência é alta para idades baixas e decresce rapidamente à medida que a idade aumenta. No entanto, a expectativa de vida é uma medida que leva em conta a contribuição de todas as idades, inclusive as muito altas, que têm uma probabilidade de sobrevivência muito baixa.
É importante notar que essa função de sobrevivência é uma simplificação e não reflete a realidade, pois a probabilidade de sobrevivência não decresce tão rapidamente com a idade. Em populações reais, a expectativa de vida é calculada com base em dados estatísticos e é uma medida importante para entender a demografia de uma população.
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