Dez participantes de um programa de televisão serão distribuídos aleatoriamente em duas casas, sendo que, em cada casa, haverá o mesmo número de participantes, isto é, 5 em cada uma. Desses 10 participantes, 3 preferem a casa X e 2 preferem a casa Y.Qual é a probabilidade de as preferências serem atendidas?

Para resolver esse problema, vamos começar calculando o número de maneiras de distribuir os 10 participantes em duas casas, com 5 participantes em cada casa. Isso pode ser feito utilizando a fórmula de combinação, que é dada por:

C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)

No nosso caso, queremos escolher 5 participantes dentre os 10 para formar a primeira casa, então:

C(10, 5) = 10! / (5!(10-5)!) = 10! / (5!5!) = 252

Isso significa que há 252 maneiras de distribuir os 10 participantes em duas casas, com 5 participantes em cada casa.

Agora, vamos calcular o número de maneiras de distribuir os 3 participantes que preferem a casa X e os 2 participantes que preferem a casa Y, de forma que as preferências sejam atendidas.

Para isso, vamos começar escolhendo 3 participantes dentre os 5 da casa X que preferem a casa X. Isso pode ser feito de C(5, 3) = 10 maneiras.

Em seguida, vamos escolher 2 participantes dentre os 5 da casa Y que preferem a casa Y. Isso pode ser feito de C(5, 2) = 10 maneiras.

Portanto, há 10 × 10 = 100 maneiras de distribuir os participantes que preferem a casa X e a casa Y, de forma que as preferências sejam atendidas.

Como há 252 maneiras de distribuir os 10 participantes em duas casas, com 5 participantes em cada casa, a probabilidade de as preferências serem atendidas é dada por:

P = 100 / 252 = 5 / 126

Portanto, a resposta certa é a opção D) 5 / 126.