Em uma fila com dez pessoas, entre elas, André, Andresa e José, qual a probabilidade de que eles estejam juntos nessa fila, independente de suas posições relativas, caso a ocupação da fila seja completamente aleatória?

Vamos começar analisando o problema. Temos 10 pessoas na fila, e três delas precisam estar juntas, independentemente de suas posições relativas. Isso significa que os três podem estar no início, no meio ou no final da fila.

Para resolver esse problema, vamos calcular o número de possibilidades de arranjo dessas 10 pessoas na fila. Isso é feito utilizando a fórmula de permutação, que é dada por:

n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1

No caso, temos 10 pessoas, então:

10! = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 3.628.800

Agora, precisamos calcular o número de possibilidades de arranjo em que André, Andresa e José estejam juntos. Para isso, vamos considerar os três como um bloco único, e os outros 7 como unidades individuais. Assim, temos 8 unidades para arranjar na fila.

O número de possibilidades de arranjo dessas 8 unidades é:

8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 40.320

Além disso, dentro desse bloco de três pessoas, temos 3! = 3 × 2 × 1 = 6 possibilidades de arranjo.

Portanto, o número total de possibilidades de arranjo em que André, Andresa e José estejam juntos é:

40.320 × 6 = 241.920

A probabilidade de que eles estejam juntos, então, é:

P = número de possibilidades favoráveis / número de possibilidades totais

P = 241.920 / 3.628.800 = 1/15

E, portanto, a resposta certa é D) 1/15.