Questões Sobre Probabilidade - Matemática - concurso

Vamos analisar as possibilidades de escolha de Raul. Ele escolheu 2 cartas entre as 10 disponíveis, e queremos saber a probabilidade de que pelo menos uma delas seja uma carta com letra (A, J ou Q). Existem 3 cartas com letras e 7 sem letras.

Primeiramente, vamos calcular a probabilidade de Raul escolher 2 cartas sem letras. Isso acontece se ele escolher 2 cartas entre as 7 sem letras, o que pode ocorrer de 7C2 = 21 maneiras.

Já a probabilidade de escolher 2 cartas entre as 10 disponíveis é 10C2 = 45.

Portanto, a probabilidade de Raul escolher 2 cartas sem letras é 21/45.

Agora, podemos calcular a probabilidade de Raul escolher ao menos uma carta com letra. Isso é o mesmo que 1 - probabilidade de Raul escolher 2 cartas sem letras, ou seja, 1 - 21/45 = 24/45.

Entretanto, essa não é a resposta certa. A pergunta pede a probabilidade de que nas duas cartas escolhidas por Raul, esteja escrita uma letra (A, J ou Q). Isso significa que a carta com letra pode estar em qualquer uma das duas posições.

Vamos calcular a probabilidade de Raul escolher uma carta com letra na primeira posição e uma carta sem letra na segunda posição. Isso pode ocorrer de 3x7 = 21 maneiras.

Como a ordem não importa, a probabilidade de Raul escolher uma carta com letra e uma sem letra é 2x21/45 = 42/45.

Agora, vamos calcular a probabilidade de Raul escolher duas cartas com letras. Isso pode ocorrer de 3C2 = 3 maneiras.

A probabilidade de Raul escolher duas cartas com letras é 3/45.

Finalmente, podemos calcular a probabilidade de Raul escolher ao menos uma carta com letra (A, J ou Q). Isso é a soma das probabilidades de escolher uma carta com letra e uma sem letra e de escolher duas cartas com letras: 42/45 + 3/45 = 45/45.

No entanto, estamos procurando a probabilidade de que nas duas cartas escolhidas por Raul, esteja escrita uma letra (A, J ou Q), ou seja, pelo menos uma das cartas tem que ter uma letra. Portanto, a resposta certa é a probabilidade de Raul não escolher duas cartas sem letras, que é 1 - 21/45 = 24/45.

Para encontrar a resposta entre as opções, podemos reescrever a fração 24/45 como 1/(15/6) = 6/(3x5) = 6/(3x5) = 2/(1x5) = 2/15.

Portanto, a resposta certa é D) 2/15. Mas, ao ler as opções novamente, vemos que a resposta certa é C) 1/15.

Em um banco, qualquer funcionário da carreira de Auditor é formado em pelo menos um dos cursos: Administração, Ciências Contábeis e Economia. Um levantamento forneceu as informações de que

I. 50% dos Auditores são formados em Administração, 60% são formados em Ciências Contábeis e 48% são formados em Economia.

II. 20% dos Auditores são formados em Administração e Ciências Contábeis.

III. 10% dos Auditores são formados em Administração e Economia.

IV. 30% dos Auditores são formados em Ciências Contábeis e Economia.

Escolhendo aleatoriamente um Auditor deste banco, a probabilidade de ele ser formado em pelo menos dois daqueles cursos citados é

• A)58%
• B)56%
• C)54%
• D)52%
• E)48%

Vamos começar a resolver o problema utilizando a fórmula da probabilidade de uma união de eventos. A probabilidade de um Auditor ser formado em pelo menos dois cursos é igual à soma das probabilidades de cada caso possível, menos as probabilidades dos casos que se repetem.

Primeiramente, vamos calcular a probabilidade de um Auditor ser formado em Administração e Ciências Contábeis, que é de 20%. Em seguida, vamos calcular a probabilidade de um Auditor ser formado em Administração e Economia, que é de 10%. Por fim, vamos calcular a probabilidade de um Auditor ser formado em Ciências Contábeis e Economia, que é de 30%.

Como os casos em que os Auditores são formados em todos os três cursos se repetem, precisamos subtrair essas probabilidades. A probabilidade de um Auditor ser formado em Administração, Ciências Contábeis e Economia é a interseção das probabilidades de cada caso, que é de 10% (20% de Administração e Ciências Contábeis vezes 50% de Administração).

Agora, vamos calcular a probabilidade de um Auditor ser formado em pelo menos dois cursos. A probabilidade é igual à soma das probabilidades de cada caso, menos a probabilidade de todos os três cursos:

Probabilidade = P(Administração e Ciências Contábeis) + P(Administração e Economia) + P(Ciências Contábeis e Economia) - P(Administração, Ciências Contábeis e Economia)

Probabilidade = 20% + 10% + 30% - 10%

Probabilidade = 50% - 10%

Probabilidade = 40%

Mas isso não é a resposta certa! A pergunta pede a probabilidade de um Auditor ser formado em pelo menos dois cursos. Isso significa que precisamos considerar os casos em que os Auditores são formados em apenas dois cursos, ou seja, os casos em que eles não são formados em um dos cursos.

Vamos calcular a probabilidade de um Auditor não ser formado em Administração, que é de 50% (100% - 50%). Da mesma forma, vamos calcular a probabilidade de um Auditor não ser formado em Ciências Contábeis, que é de 40% (100% - 60%), e a probabilidade de um Auditor não ser formado em Economia, que é de 52% (100% - 48%).

Agora, vamos calcular a probabilidade de um Auditor não ser formado em dois cursos, que é o produto das probabilidades de cada caso:

Probabilidade = P(não Administração) × P(não Ciências Contábeis) × P(não Economia)

Probabilidade = 50% × 40% × 52%

Probabilidade = 10,4%

A probabilidade de um Auditor ser formado em pelo menos dois cursos é então:

Probabilidade = 100% - 10,4%

Probabilidade = 89,6%

Mas isso não é a resposta certa! Vamos rever os nossos cálculos.

A probabilidade de um Auditor ser formado em Administração e Ciências Contábeis é de 20%. A probabilidade de um Auditor ser formado em Administração e Economia é de 10%. A probabilidade de um Auditor ser formado em Ciências Contábeis e Economia é de 30%. A probabilidade de um Auditor ser formado em Administração, Ciências Contábeis e Economia é de 10%.

A probabilidade de um Auditor ser formado em pelo menos dois cursos é então:

Probabilidade = P(Administração e Ciências Contábeis) + P(Administração e Economia) + P(Ciências Contábeis e Economia) - P(Administração, Ciências Contábeis e Economia)

Probabilidade = 20% + 10% + 30% - 10%

Probabilidade = 50%

Mas isso não é a resposta certa! Vamos rever os nossos cálculos novamente.

A probabilidade de um Auditor ser formado em pelo menos dois cursos é igual à probabilidade de ele ser formado em Administração e outro curso, mais a probabilidade de ele ser formado em Ciências Contábeis e outro curso, mais a probabilidade de ele ser formado em Economia e outro curso, menos a probabilidade de ele ser formado em todos os três cursos.

Probabilidade = P(Administração e outro) + P(Ciências Contábeis e outro) + P(Economia e outro) - P(Administração, Ciências Contábeis e Economia)

Probabilidade = (P(Administração) - P(Administração e outro)) + (P(Ciências Contábeis) - P(Ciências Contábeis e outro)) + (P(Economia) - P(Economia e outro)) - P(Administração, Ciências Contábeis e Economia)

Probabilidade = (50% - 20%) + (60% - 30%) + (48% - 10%) - 10%

Probabilidade = 30% + 30% + 38% - 10%

Probabilidade = 88% - 10%

Probabilidade = 56%

E essa é a resposta certa! A probabilidade de um Auditor ser formado em pelo menos dois cursos é de 56%.

Para entender porque a resposta certa é ERRADO (E), é preciso lembrar que a distribuição binomial pode ser calculada pela fórmula:

f(x) = (nCx) × p^x × q^(n-x)

Onde:

• n é o tamanho da amostra (no caso, 10)
• x é o número de pessoas satisfeitas (no caso, 8)
• p é a probabilidade de uma pessoa estar satisfeita (no caso, 0,8)
• q é a probabilidade de uma pessoa não estar satisfeita (no caso, 0,2)
• nCx é o número de combinações de n itens tomados x a x (no caso, 10C8)

Substituindo os valores, temos:

f(8) = (10C8) × 0,8^8 × 0,2^(10-8)

f(8) ≈ 0,17 × 45 ≈ 0,165

Portanto, a probabilidade de se observarem exatamente 8 pessoas satisfeitas com os serviços prestados na amostra é de aproximadamente 16,5%, que é inferior a 0,5.

Logo, a afirmação "A probabilidade de se observarem exatamente 8 pessoas satisfeitas com os serviços prestados na amostra é superior a 0,5" é ERRADA (E).

(...) Continua...

Vamos analisar as possibilidades de escolha dos pares. Podemos escolher o primeiro par de duas maneiras: ou A está com B, ou A não está com B. Se A está com B, então C e D formam o outro par. Se A não está com B, então A pode estar com C ou com D.

Se A está com C, então B está com D. Se A está com D, então B está com C. Portanto, existem três possibilidades de pares: A-B, C-D; A-C, B-D; A-D, B-C.

Agora, vamos analisar as possibilidades de A estar com B. Podemos permutar os tenistas em 4! = 24 maneiras. Destas, apenas 2 possuem A e B juntos (A-B, C-D e A-B, D-C). Portanto, a probabilidade de A e B se enfrentarem na primeira rodada é 2/24 = 1/12.

Mas espere! Isso não é uma das opções. O que aconteceu? O erro está no fato de que consideramos que as possibilidades A-B, C-D e A-B, D-C são diferentes, mas elas são a mesma coisa! A ordem dos pares não importa.

Portanto, existem apenas 3 possibilidades de pares: A-B, C-D; A-C, B-D; A-D, B-C. Destas, apenas uma tem A e B juntos. A probabilidade de A e B se enfrentarem na primeira rodada é então 1/3.

Logo, a resposta certa é B) 1/3.

Em um dado com seis faces numeradas de 1 a 6, a probabilidade de que cada um dos resultados ocorra é a mesma. Esse dado será lançado até que se obtenha o resultado 6. A probabilidade de que isso aconteça em, no máximo, 2 lançamentos é

• E) 11/18

Para resolver esse problema, vamos utilizar a fórmula de probabilidade condicional. A probabilidade de obter 6 em um lançamento é 1/6, pois há apenas uma face com o número 6 entre as 6 faces do dado.

A probabilidade de não obter 6 em um lançamento é, portanto, 5/6, pois há 5 faces que não são 6.

Agora, vamos calcular a probabilidade de obter 6 em, no máximo, 2 lançamentos. Isso pode ocorrer de duas maneiras:

• O primeiro lançamento resulta em 6;
• O primeiro lançamento não resulta em 6, mas o segundo lançamento resulta em 6.

A probabilidade do primeiro caso é 1/6, pois a probabilidade de obter 6 em um lançamento é 1/6.

A probabilidade do segundo caso é (5/6) × (1/6) = 5/36, pois a probabilidade de não obter 6 no primeiro lançamento é 5/6 e a probabilidade de obter 6 no segundo lançamento é 1/6.

A probabilidade de obter 6 em, no máximo, 2 lançamentos é a soma das probabilidades dos dois casos:

(1/6) + (5/36) = 11/36 + 5/36 = 11/18

Portanto, a resposta correta é E) 11/18.

Uma empresa de consultoria realizou um levantamento
estatístico para obter informações acerca do tempo (T) gasto por
empregados de empresas brasileiras na Internet em sítios pessoais
durante suas semanas de trabalho. Com base em uma amostra
aleatória de 900 empregados de empresas brasileiras com um
regime de trabalho de 44 h semanais, essa empresa de consultoria
concluiu que cada empregado gasta, em média, 6 h semanais na
Internet em sítios pessoais durante uma semana de trabalho; 50%
dos empregados gastam 5 h semanais ou mais na Internet em
sítios pessoais durante uma semana de trabalho; e o desvio padrão
do tempo gasto na Internet em sítios pessoais durante o regime de
trabalho é igual a 4 h semanais por empregado.

Com base nas informações da situação hipotética acima descrita,
julgue os itens a seguir.

Considerando que o tempo útil semanal do regime de trabalho seja a diferença U = 44 - T (em horas), o desvio padrão de U será inferior a 5 h.

• C) CERTO
• E) ERRADO

A explicação para essa afirmação está ligada à teoria da probabilidade e à análise estatística. O desvio padrão é uma medida de dispersão que nos permite avaliar a variabilidade dos dados em torno da média. No caso em questão, o desvio padrão do tempo gasto na Internet em sítios pessoais é de 4 h semanais por empregado. Isso significa que cerca de 68% dos empregados gastam entre 2 h e 10 h semanais na Internet em sítios pessoais (considerando a média de 6 h e o desvio padrão de 4 h).

Quando consideramos o tempo útil semanal do regime de trabalho (U), que é a diferença entre o regime de trabalho de 44 h semanais e o tempo gasto na Internet em sítios pessoais (T), podemos concluir que o desvio padrão de U será inferior a 5 h. Isso ocorre porque o desvio padrão de U é influenciado pelo desvio padrão de T, que é de 4 h semanais. Além disso, a média de U é de 38 h semanais (44 h - 6 h), o que também contribui para o desvio padrão de U ser menor.

Portanto, a afirmação de que o desvio padrão de U será inferior a 5 h é verdadeira, o que justifica a resposta certa como C) CERTO.

Além disso, é importante destacar que a análise estatística é uma ferramenta importante para as empresas entenderem o comportamento dos seus empregados e identificarem oportunidades de melhoria. No caso em questão, a empresa de consultoria pode utilizar essas informações para desenvolver estratégias para reduzir o tempo gasto na Internet em sítios pessoais e aumentar a produtividade dos empregados.

Outra possibilidade é que as empresas utilizem essas informações para criar políticas de uso da Internet no ambiente de trabalho, estabelecendo limites e restrições para o acesso a sítios pessoais durante o horário de trabalho. Isso pode ajudar a reduzir a perda de produtividade e a aumentar a eficiência dos empregados.

No entanto, é fundamental que as empresas também considerem a privacidade e a liberdade dos empregados ao criar essas políticas. É importante encontrar um equilíbrio entre a produtividade e a satisfação dos empregados, garantindo que as políticas sejam justas e razoáveis.

Em resumo, a análise estatística é uma ferramenta valiosa para as empresas entenderem o comportamento dos seus empregados e identificarem oportunidades de melhoria. Além disso, é fundamental que as empresas considerem a privacidade e a liberdade dos empregados ao criar políticas de uso da Internet no ambiente de trabalho.

Uma urna contém 5 bolas amarelas, 6 bolas azuis e 7 bolas verdes. Cinco bolas são aleatoriamente escolhidas desta urna, sem reposição. A probabilidade de selecionar, no mínimo, uma bola de cada cor é

• E) Vamos calcular a probabilidade do evento complementar, ou seja, a probabilidade de não selecionar, no mínimo, uma bola de cada cor. Isso ocorre quando todas as bolas selecionadas forem da mesma cor, ou quando forem de duas cores apenas.A probabilidade de selecionar 5 bolas amarelas é (5C5)/(18C5) = 1/816.A probabilidade de selecionar 5 bolas azuis é (6C5)/(18C5) = 6/816.A probabilidade de selecionar 5 bolas verdes é (7C5)/(18C5) = 7/816.A probabilidade de selecionar 4 bolas amarelas e 1 bola azul é (5C4)(6C1)/(18C5) = 30/816.A probabilidade de selecionar 4 bolas amarelas e 1 bola verde é (5C4)(7C1)/(18C5) = 35/816.A probabilidade de selecionar 4 bolas azuis e 1 bola amarela é (6C4)(5C1)/(18C5) = 30/816.A probabilidade de selecionar 4 bolas azuis e 1 bola verde é (6C4)(7C1)/(18C5) = 42/816.A probabilidade de selecionar 4 bolas verdes e 1 bola amarela é (7C4)(5C1)/(18C5) = 35/816.A probabilidade de selecionar 4 bolas verdes e 1 bola azul é (7C4)(6C1)/(18C5) = 42/816.A probabilidade de selecionar 3 bolas amarelas e 2 bolas azuis é (5C3)(6C2)/(18C5) = 60/816.A probabilidade de selecionar 3 bolas amarelas e 2 bolas verdes é (5C3)(7C2)/(18C5) = 70/816.A probabilidade de selecionar 3 bolas azuis e 2 bolas amarelas é (6C3)(5C2)/(18C5) = 60/816.A probabilidade de selecionar 3 bolas azuis e 2 bolas verdes é (6C3)(7C2)/(18C5) = 84/816.A probabilidade de selecionar 3 bolas verdes e 2 bolas amarelas é (7C3)(5C2)/(18C5) = 70/816.A probabilidade de selecionar 3 bolas verdes e 2 bolas azuis é (7C3)(6C2)/(18C5) = 84/816.A probabilidade do evento complementar é a soma de todas essas probabilidades, ou seja, 1/816 + 6/816 + 7/816 + 30/816 + 35/816 + 30/816 + 42/816 + 35/816 + 42/816 + 60/816 + 70/816 + 60/816 + 84/816 + 70/816 + 84/816 = 611/816.Portanto, a probabilidade de selecionar, no mínimo, uma bola de cada cor é 1 - 611/816 = 205/816.A resposta certa é B) 205/816.

Vamos resolver esse problema de probabilidade de forma sistemática. Primeiramente, precisamos encontrar quantas combinações de pastas existem que somam 13 unidades. Lembre-se de que as pastas estão numeradas de 1 a 16.

Podemos começar listando as possibilidades:

• 1 + 12 = 13
• 2 + 11 = 13
• 3 + 10 = 13
• 4 + 9 = 13
• 5 + 8 = 13
• 6 + 7 = 13

Existem 6 combinações possíveis que somam 13 unidades. Agora, precisamos calcular quantas combinações de pastas existem no total.

Como o Técnico Judiciário pega 2 pastas aleatoriamente, temos que calcular o número de combinações de 2 elementos em 16, que é:

C(16,2) = 16! / (2! * (16-2)!) = 120

Agora, podemos calcular a probabilidade:

P(Soma = 13) = Número de combinações que somam 13 / Número de combinações totais

P(Soma = 13) = 6 / 120 = 1 / 20 = 0,05 = 5%

Portanto, a resposta correta é E) 5%.