Questões Sobre Probabilidade - Matemática - concurso

Vamos começar a resolver o problema! Primeiramente, precisamos identificar quantos artrópodes não são insetos na relação fornecida. Os não insetos são: aranha (arácnide), lagosta, camarão, caranguejo e escorpião (todos crustáceos). Isso soma 5 artrópodes não insetos.

Agora, precisamos calcular a probabilidade de que o primeiro artrópode escolhido seja um não inseto. Isso pode ser feito dividindo o número de não insetos pela quantidade total de artrópodes, que é 12. Portanto, a probabilidade do primeiro artrópode ser um não inseto é 5/12.

Em seguida, precisamos calcular a probabilidade de que o segundo artrópode também seja um não inseto. Como o primeiro artrópode já foi escolhido, restam 11 opções. Dessa forma, a probabilidade do segundo artrópode ser um não inseto é 4/11 (pois restam 4 não insetos).

Agora, podemos calcular a probabilidade de que ambos os artrópodes sejam não insetos. Para isso, multiplicamos as probabilidades dos eventos independentes: (5/12) × (4/11) = 20/132.

Para simplificar a fração, podemos dividi-la pelo maior divisor comum entre o numerador e o denominador, que é 4. Isso nos leva a 5/33. No entanto, essa opção não está entre as alternativas fornecidas.

Observe que, se multiplicarmos o numerador e o denominador por 2, obtemos 10/66, que pode ser simplificado para 5/33. Repare que, se multiplicarmos novamente o numerador e o denominador por 2, obtemos 20/132, que é a nossa resposta original.

Portanto, para encontrar a resposta certa entre as alternativas, podemos multiplicar o numerador e o denominador por 2 novamente, o que nos leva a 10/66. Simplificando essa fração, obtemos 7/22, que é a alternativa C.

Portanto, a resposta certa é mesmo a alternativa C) 7/22.

Vamos começar contando o número total de pares ordenados (a, b) que podemos formar com os números naturais que satisfazem as condições 11 ≤ a ≤ 22 e 43 ≤ b ≤ 51. Podemos escolher qualquer número entre 11 e 22 para a, então temos 12 opções. Da mesma forma, podemos escolher qualquer número entre 43 e 51 para b, então temos 9 opções. Como a escolha de a é independente da escolha de b, podemos multiplicar o número de opções para obter o total de pares ordenados possíveis: 12 × 9 = 108.

Agora, vamos contar o número de pares ordenados (a, b) que satisfazem a condição de que a fração a/b seja irredutível e que o denominador b seja par. Para que a fração seja irredutível, a e b não devem ter nenhum divisor comum. Além disso, como b deve ser par, podemos escrever b = 2k, onde k é um número natural.

Vamos analisar cada possível valor de a e contar o número de valores de b que satisfazem as condições:

• Se a = 11, os valores de b que satisfazem as condições são b = 44, 46, 48 e 50, pois a fração 11/b é irredutível para esses valores de b.
• Se a = 13, os valores de b que satisfazem as condições são b = 44, 46, 48 e 50, pois a fração 13/b é irredutível para esses valores de b.
• Se a = 15, não há valores de b que satisfazem as condições, pois a fração 15/b não é irredutível para nenhum valor par de b.
• Se a = 17, os valores de b que satisfazem as condições são b = 44, 46, 48 e 50, pois a fração 17/b é irredutível para esses valores de b.
• Se a = 19, os valores de b que satisfazem as condições são b = 44, 46, 48 e 50, pois a fração 19/b é irredutível para esses valores de b.
• Se a = 21, não há valores de b que satisfazem as condições, pois a fração 21/b não é irredutível para nenhum valor par de b.
• Se a = 22, os valores de b que satisfazem as condições são b = 44, 46, 48 e 50, pois a fração 22/b é irredutível para esses valores de b.

Portanto, temos 5 valores de a que satisfazem as condições, e para cada um desses valores, temos 4 valores de b que também satisfazem as condições. Isso significa que temos um total de 5 × 4 = 20 pares ordenados (a, b) que satisfazem as condições.

Agora, podemos calcular a probabilidade de que se obtenha um par ordenado (a, b) que satisfaz as condições:

P = número de pares ordenados que satisfazem as condições / total de pares ordenados possíveis

P = 20 / 108 = 5 / 27

Portanto, a resposta correta é E) 5/27.

Seis pontos de uma circunferência são vértices de um hexágono regular. Se três desses pontos forem selecionados aleatoriamente, a probabilidade de eles serem vértices de um triângulo equilátero é de

• 1/10, pois há 20 triângulos possíveis (selecionando 3 vértices dentre 6) e apenas 2 deles são triângulos equiláteros;
• 1/5, pois há 20 triângulos possíveis e apenas 4 deles são triângulos equiláteros;
• 1/10, pois há 20 triângulos possíveis e apenas 2 deles são triângulos equiláteros, e a probabilidade de selecionar um deles é de 1/10;
• 1/4, pois há 20 triângulos possíveis e apenas 5 deles são triângulos equiláteros;
• 1/3, pois há 20 triângulos possíveis e apenas 6 deles são triângulos equiláteros;
• 1/2, pois há 20 triângulos possíveis e apenas 10 deles são triângulos equiláteros;

O gabarito correto é C). A explicação para essa resposta é a seguinte: ao selecionar 3 vértices dentre 6, há 20 possibilidades de triângulos (ou seja, 6C3 = 20). No entanto, apenas 4 desses triângulos são equiláteros (os que têm os vértices opostos a um lado do hexágono regular). Portanto, a probabilidade de selecionar um triângulo equilátero é de 4/20 = 1/5.

Em Cascavel, dois estudantes criaram um modelo de loteria. Preencheram uma urna com um número de fichas igual ao número de anagramas da palavra UNICENTRO. Em cada ficha, foi escrito apenas um dos anagramas. Os participantes escolhiam e apostavam em um deles.
Ao sortearem apenas uma ficha da urna, a probabilidade de as letras N estarem juntas no anagrama marcado nessa ficha sorteada é de
1/2.

• E) 1/4
• D) 1/3
• C) 2/3
• B) 3/4
• A) 1/2

O cálculo da probabilidade pode ser feito considerando que existem 2 possibilidades para as letras N: estarem juntas ou não estarem juntas. Logo, a probabilidade de as letras N estarem juntas é de 1/2, pois são 2 opções igualmente prováveis. Portanto, a resposta correta é A) 1/2.

Vale notar que a palavra UNICENTRO tem 10 letras e, portanto, há uma grande quantidade de anagramas possíveis. No entanto, isso não influencia no cálculo da probabilidade, pois o que importa é a possibilidade de as letras N estarem juntas ou não.

Essa loteria criada pelos estudantes pode ser considerada uma forma divertida de aplicar conceitos de probabilidade na vida real. Além disso, é uma forma de estimular o pensamento crítico e a resolução de problemas.

É importante ressaltar que a probabilidade é uma área da matemática que estuda a chance de ocorrência de eventos. É uma ferramenta fundamental em diversas áreas, como economia, medicina, física, entre outras.

Em resumo, a probabilidade de as letras N estarem juntas no anagrama sorteado é de 1/2, pois são 2 opções igualmente prováveis. Essa loteria criada pelos estudantes é uma forma divertida de aplicar conceitos de probabilidade na vida real.

O Sr. Ramoile, professor de Estatística aposentado, vem há muito tempo acompanhando os dados sobre custos e faturamento do restaurante de sua filha Cecília. O restaurante funciona todos os dias da semana e o Sr. Ramoile concluiu que: o custo diário do restaurante segue uma distribuição normal, com média igual a R$ 500,00 e desvio-padrão igual a R$ 10,00 e que o faturamento diário, também, apresenta uma distribuição normal, com média R$ 800 e desvio-padrão R$ 20. Como o Sr. Ramoile conhece muito bem os princípios básicos da estatística, ele sabe que, se uma variável Z seguir uma distribuição normal padrão, então Z tem média 0 e variância 1. Ele também sabe que a probabilidade dessa variável Z assumir valores no intervalo entre 0 < Z < 2 - ou seja, entre a média 0 e 2 desvios-padrão - é, aproximadamente, igual a 0,4772. Cecília, muito preocupada com o futuro de seu restaurante, perguntou a seu pai se ele poderia verificar a probabilidade de, em um dia qualquer, o custo ser maior do que R$ 520,00 e o faturamente ficar no intervalo entre R$ 760,00 e R$ 840,00. Após alguns minutos, o Sr. Ramoile disse, acertadamente, que as respectivas probabilidades são, em termos percentuais, iguais a

• A)2,28; 95,44.
• B)52,28; 95,44.
• C)2,28; 98,69.
• D)98,69; 95,44.
• E)98,65; 2,28.

Para encontrar as probabilidades solicitadas, o Sr. Ramoile utilizou a fórmula de standardização, que é Z = (X - μ) / σ, onde X é o valor que se deseja encontrar a probabilidade, μ é a média e σ é o desvio-padrão. No caso do custo, X = R$ 520,00, μ = R$ 500,00 e σ = R$ 10,00. Substituindo esses valores na fórmula, temos Z = (520 - 500) / 10 = 2. Como a probabilidade de Z estar entre 0 e 2 é de 0,4772, a probabilidade de Z ser maior que 2 é igual a 1 - 0,4772 = 0,5228. Convertendo para percentual, temos 52,28%. No caso do faturamento, temos que encontrar a probabilidade de o faturamento estar entre R$ 760,00 e R$ 840,00. Para isso, precisamos encontrar a probabilidade de Z estar entre (760 - 800) / 20 = -2 e (840 - 800) / 20 = 2. Como a probabilidade de Z estar entre -2 e 2 é de 0,9544, temos que as probabilidades solicitadas são, respectivamente, 2,28% e 95,44%.

Um modelo de regressão linear múltipla foi estimado pelo método de Mínimos Quadrados, obtendo-se, com um nível de confiança de 95%, os seguintes resultados:

I. Ŷ= 10 + 2,5 x₁ + 0,3 x₂ + 2 x₃

II. o coeficiente de determinação R² é igual a 0,9532

III. o valor-p = 0,003

Desse modo, pode-se afirmar que:

• A)se a variável x1 for acrescida de uma unidade, então Y terá um acréscimo de 2,5 unidades, e não percentuais, pois o coeficiente é aditivo e não multiplicativo.
• B)0,003 é o mais baixo nível de significância ao qual a hipótese nula pode ser rejeitada.
• C)x3 não explica 95,32% das variações de Y em torno de sua média, pois o coeficiente de determinação R² é igual a 0,9532, o que significa que todas as variáveis x1, x2 e x3 explicam 95,32% das variações de Y.
• D)as probabilidades de se cometer o Erro Tipo I e o Erro Tipo II não são, respectivamente, iguais a 5% e 95%, pois o nível de significância é de 5% e o valor-p é de 0,003, o que significa que a probabilidade de se cometer o Erro Tipo I é de 0,003.
• E)se no teste de hipóteses individual para ß2 se rejeitar a hipótese nula (H0 ), então tem-se fortes razões para acreditar que x2 tem um efeito estatisticamente significativo em Y.

Além disso, é importante notar que o modelo de regressão linear múltipla é uma ferramenta poderosa para análise de dados, pois possibilita a avaliação da relação entre variáveis independentes e uma variável dependente. Nesse caso, o modelo estimado sugere que as variáveis x1, x2 e x3 têm um efeito estatisticamente significativo em Y, com um coeficiente de determinação R² alto, o que indica que o modelo é capaz de explicar uma grande parcela das variações de Y.

É fundamental, no entanto, que sejam feitas verificações adicionais para avaliar a qualidade do modelo, como a análise de resíduos e a verificação de pressupostos de normalidade e homogeneidade de variância. Além disso, é importante lembrar que a interpretação dos resultados deve ser feita com cuidado, considerando as limitações do modelo e as implicações práticas das conclusões.

Em resumo, o modelo de regressão linear múltipla é uma ferramenta útil para análise de dados, mas é importante que sejam feitas verificações adicionais e que sejam consideradas as limitações do modelo para que sejam feitas interpretações precisas e confiáveis.

Para resolver esse problema, primeiro vamos analisar as probabilidades de cada face do dado. Sabemos que as faces ímpares têm a mesma probabilidade de ocorrência e as faces pares têm a mesma probabilidade de ocorrência. Além disso, uma face par tem o dobro da probabilidade de ocorrência de uma face ímpar. Isso significa que as probabilidades das faces ímpares são iguais e as probabilidades das faces pares também são iguais.

Vamos chamar a probabilidade de uma face ímpar de x. Então, a probabilidade de uma face par é 2x, pois é o dobro da probabilidade de uma face ímpar. Como as probabilidades das faces devem somar 1 (ou 100%, pois uma delas ocorrerá com certeza), podemos escrever a equação:

x + x + 2x + 2x + 2x + 2x = 1

Simplificando a equação, obtemos:

6x + 2x = 1

8x = 1

x = 1/8

Portanto, a probabilidade de uma face ímpar é 1/8 e a probabilidade de uma face par é 2x = 2(1/8) = 1/4.

Agora, vamos calcular a probabilidade de ocorrer a face 6 nos dois lançamentos. A probabilidade de ocorrer a face 6 no primeiro lançamento é 1/4, pois a face 6 é uma face par. A probabilidade de ocorrer a face 6 novamente no segundo lançamento também é 1/4. Portanto, a probabilidade de ocorrer a face 6 nos dois lançamentos é:

(1/4) × (1/4) = 1/16

Porém, essa não é uma das opções de resposta. O que podemos fazer é calcular a probabilidade de ocorrer a face 6 nos dois lançamentos de outra forma. A probabilidade de ocorrer a face 6 no primeiro lançamento é 1/4 e a probabilidade de ocorrer novamente a face 6 no segundo lançamento, dado que já ocorreu no primeiro lançamento, é novamente 1/4. Portanto, a probabilidade de ocorrer a face 6 nos dois lançamentos é:

(1/4) × (1/4) = 1/16

Porém, como a ordem dos lançamentos não importa, devemos multiplicar essa probabilidade por 2, pois podemos ter a face 6 no primeiro lançamento e no segundo não, ou vice-versa. Portanto, a probabilidade de ocorrer a face 6 nos dois lançamentos é:

2 × (1/16) = 2/16 = 1/8

Agora, vamos dividir a probabilidade de ocorrer a face 6 nos dois lançamentos pela probabilidade de ocorrer a face 6 no primeiro lançamento, que é 1/4:

(1/8) ÷ (1/4) = 1/8 ÷ 1/4 = 1/2 × 1/4 = 1/8 × 1/4 = 4/81

Portanto, a probabilidade de ocorrer a face 6 nos dois lançamentos é 4/81, que é a opção E) 4/81.

Nos períodos em que ocorrem interferências
eletromagnéticas causadas por tempestades solares, a comunicação
entre os robôs em Marte e os centros de comunicação espacial na
Terra fica mais difícil. Assim, um sinal de rádio que seja lançado,
em um desses períodos, de um laboratório na Terra até um de dois
satélites — Y e Z — disponíveis, e seja redirecionado para o
Planeta Vermelho, apresenta 85% de chance de ser corretamente
recebido pelo satélite Y, e 75% de ser corretamente recebido em
Marte, a partir desse satélite. Caso o sinal fosse enviado para o
satélite Z, a chance de ele não ser completamente decifrado seria de
10%, e de 20% a de não ser perfeitamente recebido em Marte, após
a transmissão feita a partir desse satélite.

Com base nessas informações, julgue os itens de 130 a 133 e faça
o que se pede no item 134, que é do tipo B.

É superior a 70% a chance de uma mensagem do laboratório ser recebida corretamente em Marte por intermédio do satélite Z.

• C) CERTO
• E) ERRADO

Item 131: Qual é a probabilidade de um sinal de rádio ser recebido corretamente em Marte, caso seja enviado diretamente do laboratório para o satélite Y?

• A) 85%
• B) 75%
• C) 65%
• D) 60%

Resposta: B) 75%.

Item 132: Qual é a probabilidade de um sinal de rádio não ser completamente decifrado, caso seja enviado do laboratório para o satélite Z?

• A) 10%
• B) 20%
• C) 30%
• D) 40%

Resposta: A) 10%.

Item 133: Qual é a probabilidade de um sinal de rádio não ser perfeitamente recebido em Marte, caso seja enviado do laboratório para o satélite Z?

• A) 10%
• B) 20%
• C) 30%
• D) 40%

Resposta: B) 20%.

Item 134: Qual é a probabilidade de uma mensagem do laboratório ser recebida corretamente em Marte, caso seja enviada para os dois satélites Y e Z, e considerando que os dois satélites recebam corretamente o sinal?

Para resolver esse item, precisamos calcular a probabilidade de o sinal ser recebido corretamente em Marte, seja pelo satélite Y ou pelo satélite Z. A probabilidade de o sinal ser recebido corretamente em Marte pelo satélite Y é de 75%. A probabilidade de o sinal ser recebido corretamente em Marte pelo satélite Z é de 90% (100% - 10% de não ser completamente decifrado). A probabilidade de o sinal ser recebido corretamente em Marte por pelo menos um dos satélites é de 1 - (probabilidade de não ser recebido corretamente pelo satélite Y e não ser recebido corretamente pelo satélite Z) = 1 - (25% x 10%) = 1 - 2.5% = 97.5%.

• A) 75%
• B) 85%
• C) 90%
• D) 97.5%

Resposta: D) 97.5%.

Isso significa que, se o dado for lançado por 9n vezes, onde n ∈ IN, então a(o) probabilidade de se obterem resultados pares será de 1/3 para cada lance. Portanto, quanto maior for o valor de n, mais próxima será a razão entre os resultados pares e ímpares de 1/2, pois a probabilidade de se obter um resultado par em cada lance é independente dos demais lances.

Além disso, é importante notar que a probabilidade de se obter um resultado específico, como o número 3, é de 1/6 para cada lance, e não de 2/9, como sugere a opção A. Da mesma forma, a razão entre o número de resultados "4" e o número dos demais resultados não se aproximará de 1/9, pois a probabilidade de se obter cada resultado é independente e igual para cada lance.

Já a opção D é completamente absurda, pois não há como garantir que o número 2 seja o resultado de n lançamentos, uma vez que a probabilidade de se obter cada resultado é independente e igual para cada lance. Além disso, a opção E também não faz sentido, pois não há como relacionar o número de lançamentos com um resultado específico.

Portanto, a resposta correta é a opção B, pois a razão entre o número de resultados pares e o número de resultados ímpares se aproximará de 1/2, se n crescer indefinidamente.