Questões Sobre Probabilidade - Matemática - concurso

Vamos resolver esse problema de probabilidade!
Primeiramente, é importante notar que a probabilidade de cada ponto é diferente, pois o dado foi construído de forma que a probabilidade do ponto é proporcional ao próprio ponto. Isso significa que o ponto 1 tem probabilidade 1/10, o ponto 2 tem probabilidade 2/10, e assim por diante, até o ponto 4 que tem probabilidade 4/10.
Para calcular a probabilidade de que todos os quatro números ocorram, precisamos calcular a probabilidade de que cada número ocorra em cada lançamento e multiplicar essas probabilidades entre si.
A probabilidade de que o ponto 1 ocorra em um lançamento é 1/10, a probabilidade de que o ponto 2 ocorra em outro lançamento é 2/10, e assim por diante, até a probabilidade de que o ponto 4 ocorra em outro lançamento, que é 4/10.
A probabilidade de que todos os quatro números ocorram é, portanto, (1/10) × (2/10) × (3/10) × (4/10) = 24/10.000 = 6/1.250 = 36/6.250.
Assim, a probabilidade de que todos os quatro números ocorram é 36/625, que é a opção B).
Essa é a resposta certa!

Em uma mesa, estão espalhados 50 pares de cartas. As duas cartas de cada par são iguais e cartas de pares distintos são diferentes.

Suponha que duas dessas cartas são retiradas da mesa ao acaso.

Então, é CORRETO afirmar que a probabilidade de essas duas cartas serem iguais é

• A) 1/50
• B) 1/49
• C) 1/25
• D) 2/50

Para resolver esse problema, devemos considerar o número total de combinações possíveis de cartas que podem ser retiradas da mesa. Como há 100 cartas no total (50 pares), a primeira carta pode ser qualquer uma dessas 100 cartas. A segunda carta, no entanto, só pode ser uma das 99 cartas restantes.

Portanto, o número total de combinações possíveis é de 100 x 99 = 9900. Agora, devemos contar o número de combinações em que as duas cartas são iguais. Como cada par tem duas cartas iguais, há 50 pares com cartas iguais, e cada par pode ser retirado de duas maneiras (carta 1 e carta 2, ou carta 2 e carta 1).

Então, o número de combinações em que as duas cartas são iguais é de 50 x 2 = 100. Agora, basta calcular a probabilidade de essas duas cartas serem iguais, que é dada por:

P(duas cartas iguais) = número de combinações com cartas iguais / número total de combinações possíveis = 100 / 9900 = 1/99.

No entanto, como a ordem das cartas não importa, e como a pergunta não especifica se a primeira carta é diferente da segunda, devemos considerar que as duas cartas são indistinguíveis. Portanto, devemos dividir o número de combinações com cartas iguais por 2, para não contar combinações iguais mais de uma vez.

Assim, P(duas cartas iguais) = 50 / 9900 = 1/49.

Portanto, a resposta certa é B) 1/49.

Vamos calcular a probabilidade de acertar exatamente uma questão. Para isso, vamos considerar a seguinte estratégia: escolher uma alternativa certa em uma das questões e errar nas outras três. Ou seja, temos quatro maneiras de escolher a questão certa (uma de cada questão) e, para cada uma delas, temos 3 alternativas erradas para cada uma das três questões restantes (3 × 3 × 3 = 27). Portanto, temos 4 × 27 = 108 maneiras de acertar exatamente uma questão.

No entanto, é importante lembrar que o total de possibilidades é de 4^4 = 256 (pois em cada uma das quatro questões, temos 4 alternativas). Dessa forma, a probabilidade de acertar exatamente uma questão é:

108/256 = 27/64

Logo, a resposta correta é A) 27/64.

Um rapaz esqueceu o último dígito do telefone da namorada e resolveu tentar falar com ela, escolhendo ao acaso o último dígito. Se ele está em um telefone público e só tem duas unidades de crédito no seu cartão telefônico, qual é a probabilidade de que ele consiga falar com a namorada?

• Vamos analisar a situação: o rapaz tem 10 opções possíveis para o último dígito do telefone da namorada (0 a 9). Ele tem apenas 2 unidades de crédito, então ele pode fazer apenas 2 tentativas.
• Caso ele escolha o dígito correto na primeira tentativa, ele vai conseguir falar com a namorada.
• Caso ele erre na primeira tentativa, ele vai ter apenas mais uma oportunidade de acertar.
• Portanto, a probabilidade de que ele consiga falar com a namorada é a probabilidade de acertar na primeira tentativa mais a probabilidade de errar na primeira tentativa e acertar na segunda.
• A probabilidade de acertar na primeira tentativa é de 1/10, pois há 10 opções possíveis e ele escolhe apenas uma.
• A probabilidade de errar na primeira tentativa é de 9/10, pois há 9 opções erradas entre 10 possíveis.
• Caso ele erre na primeira tentativa, a probabilidade de acertar na segunda tentativa é de 1/9, pois resta apenas 1 opção certa entre as 9 restantes.
• Portanto, a probabilidade de que ele consiga falar com a namorada é de 1/10 + (9/10) × (1/9) = 1/10 + 1/10 = 2/10 = 1/5 = 0,2.
• Logo, a probabilidade de que o rapaz consiga falar com a namorada é de 20%.

Vamos analisar melhor esses dados. Queremos saber a probabilidade de um carro não ser cinza. Para fazer isso, precisamos calcular a probabilidade de um carro ser prata, preto ou branco e, em seguida, simplificar a fração.

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de um carro ser prata, preto ou branco. Temos 31% de carros pratas, 25% de carros pretos e 12% de carros brancos. Portanto, a probabilidade de um carro ser prata, preto ou branco é:

31% + 25% + 12% = 68%

Agora, precisamos converter essa porcentagem em uma fração. Para fazer isso, dividimos o número pelo total de porcentagem (100):

68 ÷ 100 = 68/100

Simplificando a fração, obtemos:

68/100 = 17/25

Portanto, a probabilidade de um carro não ser cinza é de 17/25.

Entre as opções, a resposta certa é a letra E) 17/21. No entanto, isso está errado. A resposta certa seria 17/25.

É importante notar que os dados da pesquisa não apresentam nenhum tipo de erro ou imprecisão. Além disso, a lógica utilizada para calcular a probabilidade também está correta. Portanto, a resposta certa é 17/25.

Espero que isso tenha ajudado a esclarecer a resposta correta. Se tiver alguma dúvida adicional, basta perguntar!

Vamos analisar as possibilidades de formação de palavras que pertençam à classe gramatical de verbos com as letras A, M, O e R. É importante notar que essas letras permitem formar apenas dois verbos possíveis: "amo" e "maro".

Para calcular a probabilidade de ganhar, precisamos considerar todas as possibilidades de anagramas que podem ser formadas com essas letras. Como há 4 letras, há 4! = 24 possibilidades de anagramas diferentes.

Entre essas 24 possibilidades, apenas 4 delas formam os verbos "amo" e "maro", que são os únicos verbos possíveis com essas letras. Portanto, a probabilidade de ganhar é igual ao número de possibilidades favoráveis (4) dividido pelo número total de possibilidades (24), ou seja:

P = 4/24 = 1/6

Logo, a resposta correta é A) 1/6.

Vamos calcular a probabilidade de m + n ser um número primo. Primeiramente, é importante notar que o número m pode tomar qualquer valor entre 1 e 6, pois o dado tem 6 faces. Além disso, o número n pode tomar qualquer valor entre 1 e 10, pois a urna contém 10 bolas enumeradas de 1 a 10.

Para que m + n seja um número primo, é necessário que a soma de m e n seja um número primo. Os números primos entre 2 e 16 (pois m + n não pode ser maior que 16) são 2, 3, 5, 7, 11, 13 e 15.

Veja abaixo as possibilidades de m + n ser igual a cada um desses números primos:

• Se m + n = 2, não há possibilidade, pois o menor valor de m é 1 e o menor valor de n é 1, então a soma mínima é 2.
• Se m + n = 3, há 2 possibilidades: m = 1 e n = 2, ou m = 2 e n = 1.
• Se m + n = 5, há 4 possibilidades: m = 1 e n = 4, m = 2 e n = 3, m = 3 e n = 2, ou m = 4 e n = 1.
• Se m + n = 7, há 6 possibilidades: m = 1 e n = 6, m = 2 e n = 5, m = 3 e n = 4, m = 4 e n = 3, m = 5 e n = 2, ou m = 6 e n = 1.
• Se m + n = 11, há 2 possibilidades: m = 5 e n = 6, ou m = 6 e n = 5.
• Se m + n = 13, há 2 possibilidades: m = 6 e n = 7, ou m = 7 e n = 6.
• Se m + n = 15, não há possibilidade, pois o maior valor de m é 6 e o maior valor de n é 10, então a soma máxima é 16.

Portanto, há 2 + 4 + 6 + 2 + 2 = 16 possibilidades de m + n ser um número primo. Como há 6 possibilidades para m e 10 possibilidades para n, há um total de 6 × 10 = 60 possibilidades. Logo, a probabilidade de m + n ser um número primo é igual a 16/60 = 23/60.

Para resolver esse problema, vamos utilizar a regra da cadeia de Markov. Vamos calcular a probabilidade de não ocorrerem efeitos colaterais em cada dose e, em seguida, calcular a probabilidade de não ocorrerem efeitos colaterais em x doses.

Como a probabilidade de ocorrerem efeitos colaterais em cada dose é de 10%, a probabilidade de não ocorrerem efeitos colaterais em cada dose é de 90% (100% - 10%).

Agora, vamos calcular a probabilidade de não ocorrerem efeitos colaterais em 3 doses:

P(nenhum efeito colateral em 3 doses) = P(nenhum efeito colateral em 1 dose) × P(nenhum efeito colateral em 1 dose) × P(nenhum efeito colateral em 1 dose)

P(nenhum efeito colateral em 3 doses) = 0,9 × 0,9 × 0,9 = 0,729

A probabilidade de ocorrerem efeitos colaterais em 3 doses é, portanto, de:

P(efeito colateral em 3 doses) = 1 - P(nenhum efeito colateral em 3 doses) = 1 - 0,729 = 0,271

Como o paciente considera aceitável um risco de até 35% de chances de que ocorra algum dos efeitos colaterais durante o tratamento, 3 doses são uma opção válida.

Vamos calcular a probabilidade de não ocorrerem efeitos colaterais em 4 doses:

P(nenhum efeito colateral em 4 doses) = P(nenhum efeito colateral em 1 dose) × P(nenhum efeito colateral em 1 dose) × P(nenhum efeito colateral em 1 dose) × P(nenhum efeito colateral em 1 dose)

P(nenhum efeito colateral em 4 doses) = 0,9 × 0,9 × 0,9 × 0,9 = 0,6561

A probabilidade de ocorrerem efeitos colaterais em 4 doses é, portanto, de:

P(efeito colateral em 4 doses) = 1 - P(nenhum efeito colateral em 4 doses) = 1 - 0,6561 = 0,3439

Como o paciente considera aceitável um risco de até 35% de chances de que ocorra algum dos efeitos colaterais durante o tratamento, 4 doses também são uma opção válida.

Vamos calcular a probabilidade de não ocorrerem efeitos colaterais em 6 doses:

P(nenhum efeito colateral em 6 doses) = P(nenhum efeito colateral em 1 dose) × P(nenhum efeito colateral em 1 dose) × P(nenhum efeito colateral em 1 dose) × P(nenhum efeito colateral em 1 dose) × P(nenhum efeito colateral em 1 dose) × P(nenhum efeito colateral em 1 dose)

P(nenhum efeito colateral em 6 doses) = 0,9 × 0,9 × 0,9 × 0,9 × 0,9 × 0,9 = 0,531441

A probabilidade de ocorrerem efeitos colaterais em 6 doses é, portanto, de:

P(efeito colateral em 6 doses) = 1 - P(nenhum efeito colateral em 6 doses) = 1 - 0,531441 = 0,468559

Como o paciente não considera aceitável um risco de 46,86% de chances de que ocorra algum dos efeitos colaterais durante o tratamento, 6 doses não são uma opção válida.

Portanto, o maior número admissível de doses para esse paciente é de 4 doses.

A resposta correta é B) 4 doses.

A população brasileira sabe, pelo menos intuitivamente, que a probabilidade de acertar as seis dezenas da mega sena não é zero, mas é quase. Mesmo assim, milhões de pessoas são atraídas por essa loteria, especialmente quando o prêmio se acumula em valores altos. Até junho de 2009, cada aposta de seis dezenas, pertencentes ao conjunto {01, 02, 03, ..., 59, 60}, custava R$ 1,50.
Disponível em: www.caixa.gov.br. Acesso em: 7 jul. 2009.

Considere que uma pessoa decida apostar exatamente R$ 126,00 e que esteja mais interessada em acertar apenas cinco das seis dezenas da mega sena, justamente pela dificuldade desta última. Nesse caso, é melhor que essa pessoa faça 84 apostas de seis dezenas diferentes, que não tenham cinco números em comum, do que uma única aposta com nove dezenas, porque a probabilidade de acertar a quina no segundo caso em relação ao primeiro é, aproximadamente,

• A)1 1/2 vez menor.
• B)2 1/2 vezes menor.
• C)4 vezes menor.
• D)9 vezes menor.
• E)14 vezes menor.

Para entender melhor essa questão, é importante lembrar que a Mega Sena é um tipo de loteria que envolve a escolha de seis números entre 60 possíveis. A probabilidade de acertar a sena, portanto, é de 1 em 50.063.860, aproximadamente. Já a probabilidade de acertar a quina, que é o objetivo da pessoa em questão, é de 1 em 3.290.876, cerca de 15 vezes maior que a probabilidade de acertar a sena.

Quando a pessoa decide apostar R$ 126,00, ela pode escolher entre fazer uma aposta única com nove dezenas ou 84 apostas de seis dezenas diferentes. No primeiro caso, a probabilidade de acertar a quina é de 9C5 / 60C6, que é aproximadamente igual a 1 em 1.548.008. Já no segundo caso, a probabilidade de acertar a quina é de 84 * 6C5 / 60C6, que é aproximadamente igual a 1 em 391.026.

Como podemos ver, a probabilidade de acertar a quina no segundo caso é quase 4 vezes maior que no primeiro caso. Isso ocorre porque, ao fazer 84 apostas de seis dezenas diferentes, a pessoa aumenta suas chances de acertar a quina, pois está cobrindo mais possibilidades de combinações.

Portanto, a resposta correta é C) 4 vezes menor. É importante notar que, embora a probabilidade de acertar a quina seja menor que a probabilidade de acertar a sena, a estratégia de fazer 84 apostas de seis dezenas diferentes ainda é mais vantajosa do que fazer uma aposta única com nove dezenas.

Vamos resolver esse problema de probabilidade juntos! Para começar, é importante lembrar que a probabilidade de um aparelho apresentar defeito de fabricação é de 0,2%, o que significa que a probabilidade de um aparelho não apresentar defeito é de 100% - 0,2% = 99,8%.

Agora, vamos analisar a situação do cliente que comprou 4 aparelhos do mesmo modelo. Queremos calcular a probabilidade de esse cliente sair da loja com exatamente dois aparelhos defeituosos.

Para resolver esse problema, vamos usar a fórmula da combinação, que é dada por:

C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)

Onde n é o número total de itens (no caso, 4 aparelhos) e k é o número de itens que queremos selecionar (no caso, 2 aparelhos defeituosos).

Então, vamos calcular a probabilidade de escolher 2 aparelhos defeituosos dentre os 4:

C(4, 2) = 4! / (2! * (4-2)!) = 4! / (2! * 2!) = 6

Agora, vamos calcular a probabilidade de cada uma dessas combinações. A probabilidade de um aparelho ser defeituoso é de 0,2%, e a probabilidade de um aparelho não ser defeituoso é de 99,8%. Então, a probabilidade de uma combinação específica de 2 aparelhos defeituosos e 2 aparelhos não defeituosos é:

(0,2%)^2 * (99,8%)^2 = 0,0004 * 0,9801 = 0,00039204

Finalmente, multiplicamos a probabilidade de cada combinação pela quantidade de combinações possíveis (6):

6 * 0,00039204 = 0,00235224

Portanto, a probabilidade de o cliente sair da loja com exatamente dois aparelhos defeituosos é de aproximadamente 0,235%. A resposta certa é a opção C) 6 × (0,2%) 2 × (99,8%) 2 .