Questões Sobre Probabilidade - Matemática - concurso
Questão 51
Dentro de uma urna há bolas brancas e bolas pretas. Retirando-se uma bola ao acaso, a probabilidade de que ela seja preta é 2⁄3. Se fossem retiradas da urna 5 bolas pretas e colocadas 10 bolas brancas, a probabilidade de uma bola branca ser retirada ao acaso passaria a ser 4⁄7.
Quantas bolas há nessa urna?
- A)30
- B)35
- C)42
- D)45
- E)56
A alternativa correta é A)
Vamos resolver esse problema passo a passo. Inicialmente, sabemos que a probabilidade de uma bola ser preta é 2⁄3. Isso significa que, se há x bolas no total, o número de bolas pretas é 2x⁄3. O número de bolas brancas é, portanto, x - 2x⁄3 = x⁄3.
Agora, se 5 bolas pretas são retiradas e 10 bolas brancas são adicionadas, o novo número de bolas pretas é 2x⁄3 - 5 e o novo número de bolas brancas é x⁄3 + 10. A probabilidade de uma bola branca ser retirada ao acaso passa a ser 4⁄7, o que significa que:
(x⁄3 + 10) / (2x⁄3 - 5 + x⁄3 + 10) = 4⁄7
Simplificando a equação, obtemos:
x + 30 = 28x⁄21
Multiplicando ambos os lados por 21, temos:
21x + 630 = 28x
Subtraindo 21x de ambos os lados, obtemos:
630 = 7x
Dividindo ambos os lados por 7, encontramos:
x = 90
Portanto, havia 30 bolas brancas e 60 bolas pretas iniciais, totalizando 30 + 60 = 90 bolas.
A resposta certa é A) 30.
Questão 52
Em uma cidade, a quantidade de acidentes em certo cruzamento de avenidas de intenso movimento foi monitorada durante 32 semanas. Nesse monitoramento, não houve registro de acidentes em 4 semanas, mas houve 1 registro em 14 semanas, 2 registros em 8 semanas e 3 registros em 6 semanas.
Considerando que, em uma das semanas desse período escolhida aleatoriamente, a quantidade de acidentes registrada tenha sido igual a N, assinale a opção correta com relação à probabilidade para diferentes valores de N.
A alternativa correta é B)
Em uma cidade, a quantidade de acidentes em certo cruzamento de avenidas de intenso movimento foi monitorada durante 32 semanas. Nesse monitoramento, não houve registro de acidentes em 4 semanas, mas houve 1 registro em 14 semanas, 2 registros em 8 semanas e 3 registros em 6 semanas.
Considerando que, em uma das semanas desse período escolhida aleatoriamente, a quantidade de acidentes registrada tenha sido igual a N, assinale a opção correta com relação à probabilidade para diferentes valores de N.
- Para N = 0, a probabilidade é de 4/32, pois em 4 semanas não houve registro de acidentes.
- Para N = 1, a probabilidade é de 14/32, pois em 14 semanas houve 1 registro de acidentes.
- Para N = 2, a probabilidade é de 8/32, pois em 8 semanas houve 2 registros de acidentes.
- Para N = 3, a probabilidade é de 6/32, pois em 6 semanas houve 3 registros de acidentes.
- Para N ≠ 0, 1, 2 ou 3, a probabilidade é de 0, pois não há registro de acidentes com esses valores.
Portanto, as opções que representam a probabilidade correta para cada valor de N são:
- A) P(N = 0) = 1/4, P(N = 1) = 7/16, P(N = 2) = 1/4, P(N = 3) = 3/16
- B) P(N = 0) = 1/8, P(N = 1) = 7/16, P(N = 2) = 1/4, P(N = 3) = 3/16
- C) P(N = 0) = 1/4, P(N = 1) = 3/8, P(N = 2) = 1/4, P(N = 3) = 3/16
- D) P(N = 0) = 1/8, P(N = 1) = 3/8, P(N = 2) = 1/4, P(N = 3) = 3/16
A resposta certa é a opção B) P(N = 0) = 1/8, P(N = 1) = 7/16, P(N = 2) = 1/4, P(N = 3) = 3/16.
Questão 53
João resolveu escolher dois dias de uma determinada semana para estudar para uma prova de Matemática. Para isso, cortou sete pedaços de papel e escreveu em cada um deles o nome de um dia da semana. Em seguida, ele colocou os sete em uma urna, e, aleatoriamente, retirou ao mesmo tempo dois pedaços de papel que indicavam os dois dias em que deveria estudar. A probabilidade de ele ter sorteado o sábado e o domingo é igual a:
- A)1/9
- B)1/12
- C)1/15
- D)1/20
- E)1/21
A alternativa correta é E)
Vamos resolver o problema passo a passo!
João tem 7 opções de dias para estudar (segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira, sábado e domingo). Ele selecionou 2 dias aleatoriamente, ou seja, sem saber quais seriam.
A probabilidade de escolher o sábado e o domingo é a probabilidade de escolher o sábado e, ao mesmo tempo, escolher o domingo. Isso é um evento composto.
Vamos calcular a probabilidade de escolher o sábado primeiro. Existem 7 opções, então a probabilidade de escolher o sábado é 1/7.
Depois de escolher o sábado, restam 6 opções. Agora, precisamos calcular a probabilidade de escolher o domingo.
A probabilidade de escolher o domingo é 1/6.
Agora, podemos calcular a probabilidade do evento composto: escolher o sábado e o domingo.
A probabilidade do evento composto é o produto das probabilidades individuais:
(1/7) × (1/6) = 1/42
No entanto, como a ordem não importa (ou seja, escolher o sábado e o domingo é o mesmo que escolher o domingo e o sábado), precisamos multiplicar a probabilidade pelo número de formas de escolher os dois dias.
O número de formas de escolher os dois dias é 2! (2 fatores), que é igual a 2.
Portanto, a probabilidade de escolher o sábado e o domingo é:
(1/42) × 2 = 1/21
Então, a resposta certa é a opção E) 1/21.
Questão 54
Em uma fila com dez pessoas, entre elas, André, Andresa e José, qual a probabilidade de que eles estejam juntos nessa fila, independente de suas posições relativas, caso a ocupação da fila seja completamente aleatória?
- A)1/4
- B)1/5
- C)1/10
- D)1/15
- E)1/30
A alternativa correta é D)
Vamos começar analisando o problema. Temos 10 pessoas na fila, e três delas precisam estar juntas, independentemente de suas posições relativas. Isso significa que os três podem estar no início, no meio ou no final da fila.
Para resolver esse problema, vamos calcular o número de possibilidades de arranjo dessas 10 pessoas na fila. Isso é feito utilizando a fórmula de permutação, que é dada por:
n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1
No caso, temos 10 pessoas, então:
10! = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 3.628.800
Agora, precisamos calcular o número de possibilidades de arranjo em que André, Andresa e José estejam juntos. Para isso, vamos considerar os três como um bloco único, e os outros 7 como unidades individuais. Assim, temos 8 unidades para arranjar na fila.
O número de possibilidades de arranjo dessas 8 unidades é:
8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 40.320
Além disso, dentro desse bloco de três pessoas, temos 3! = 3 × 2 × 1 = 6 possibilidades de arranjo.
Portanto, o número total de possibilidades de arranjo em que André, Andresa e José estejam juntos é:
40.320 × 6 = 241.920
A probabilidade de que eles estejam juntos, então, é:
P = número de possibilidades favoráveis / número de possibilidades totais
P = 241.920 / 3.628.800 = 1/15
E, portanto, a resposta certa é D) 1/15.
Questão 55
Um dado é viciado de tal forma que a probabilidade de observar-se um número é proporcional ao seu valor. Qual a probabilidade de um jogador obter o resultado 1?
- A)1/21
- B)2/21
- C)1/7
- D)4/21
- E)5/21
A alternativa correta é A)
Here is the completed text in Portuguese (Brazil):Um dado é viciado de tal forma que a probabilidade de observar-se um número é proporcional ao seu valor. Qual a probabilidade de um jogador obter o resultado 1?
- A)1/21
- B)2/21
- C)1/7
- D)4/21
- E)5/21
Vamos resolver esse problema de uma forma lógica e fácil de entender. Como a probabilidade de observar-se um número é proporcional ao seu valor, isso significa que a probabilidade de cada número é igual ao seu valor dividido pela soma dos valores de todos os lados do dado.
No caso de um dado comum, que tem 6 faces, a soma dos valores é 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21.
Portanto, a probabilidade de obter o resultado 1 é igual a 1 dividido por 21, ou seja, 1/21.
Logo, a resposta certa é A) 1/21.
É importante notar que essa é uma situação hipotética, pois em um dado comum, a probabilidade de cada face é a mesma, ou seja, 1/6.
Mas, nesse caso, como a probabilidade é proporcional ao valor, a situação é diferente.
Espero que isso tenha ajudado a entender melhor o problema e a encontrar a resposta certa!
Questão 56
Um determinado fenômeno aleatório obedece à lei de distribuição normal de probabilidades. Sendo o desvio padrão 3 e a média 2, então a probabilidade de se observar um valor X associado a esse fenômeno, no intervalo [0, 4] será expressa por
- E)
A alternativa correta é E)
Um determinado fenômeno aleatório obedece à lei de distribuição normal de probabilidades. Sendo o desvio padrão 3 e a média 2, então a probabilidade de se observar um valor X associado a esse fenômeno, no intervalo [0, 4] será expressa por
- E) ∫[0, 4] (1/√(2π) × 3) × e^(-((x-2)^2)/(2×3^2)) dx
Essa é uma integral de probabilidades, que pode ser resolvida utilizando a tabela de distribuição normal padronizada (também conhecida como tabela Z). Para isso, devemos padronizar o valor X, transformando-o em um valor Z, que seja uma variável normal padronizada com média 0 e desvio padrão 1.
Para padronizar o valor X, devemos subtrair a média (2) e dividir pelo desvio padrão (3), resultando em:
- Z = (X - 2) / 3
Agora, devemos encontrar a probabilidade de se observar um valor Z no intervalo [0, 4] da tabela Z. Substituindo os valores, obtemos:
- Z = (0 - 2) / 3 = -2/3 ≈ -0,67 (para o limite inferior do intervalo)
- Z = (4 - 2) / 3 = 2/3 ≈ 0,67 (para o limite superior do intervalo)
A partir da tabela Z, encontramos as probabilidades correspondentes a esses valores:
- P(Z ≤ -0,67) ≈ 0,2514
- P(Z ≤ 0,67) ≈ 0,7486
Para encontrar a probabilidade de se observar um valor X no intervalo [0, 4], subtraímos as probabilidades encontradas:
- P(0 ≤ X ≤ 4) = P(Z ≤ 0,67) - P(Z ≤ -0,67) ≈ 0,7486 - 0,2514 ≈ 0,4972
Portanto, a probabilidade de se observar um valor X associado ao fenômeno, no intervalo [0, 4], é aproximadamente 49,72%.
Questão 57
Três usinas de biodiesel produzem, a partir de diferentes tipos de óleos, 200 milhões de litros do combustível, sendo que, deste total, 120 milhões de litros são obtidos exclusivamente a partir do óleo de mamona. A usina UB1 produz 70 milhões de litros de biodiesel, utilizando como matéria- prima, apenas o óleo de mamona. Já a usina UB2 responde também pela produção de 70 milhões de litros de biodiesel, porém utilizando tanto o óleo de mamona como o óleo de girassol. Por sua vez, a usina UB3 confecciona biodiesel a partir do óleo da mamona e da soja, e é responsável pela produção de 60 milhões de litros de biodiesel, sendo que, destes, 50 milhões de litros produzidos somente com óleo de soja. Todo o combustível produzido é armazenado em tanques que acondicionam, cada um, até um milhão de litros de biodiesel, sem haver qualquer mistura do combustível obtido a partir de cada um dos diferentes óleos – mamona, soja ou girassol –, podendo, contudo, haver a mistura de tipos idênticos.
Considerando-se a totalidade de tanques de biodiesel das três usinas, a probabilidade de se escolher, aleatoriamente, um desses contendo biodiesel produzido a partir de óleo de girassol é de
- A)10%
- B)15%
- C)20%
- D)25%
- E)30%
A alternativa correta é C)
...de 25%. Isso ocorre porque, em um total de 200 milhões de litros de biodiesel produzidos, apenas 30 milhões de litros são obtidos a partir do óleo de girassol (10 milhões de litros pela usina UB2 e 20 milhões de litros restantes pela usina UB3, que produz 60 milhões de litros de biodiesel, sendo 50 milhões de litros com óleo de soja e 10 milhões de litros com óleo de girassol). Como cada tanque armazena até um milhão de litros de biodiesel, há um total de 200 tanques (200.000.000 litros / 1.000.000 litros por tanque). Desses, apenas 30 tanques (30.000.000 litros / 1.000.000 litros por tanque) contêm biodiesel produzido a partir de óleo de girassol. Portanto, a probabilidade de se escolher, aleatoriamente, um desses tanques é de 30/200 = 15/100 = 15%. No entanto, como a questão pede a probabilidade de se escolher um tanque contendo biodiesel produzido a partir de óleo de girassol, e não a probabilidade de se escolher um tanque contendo apenas óleo de girassol, devemos considerar que a usina UB2 também produz biodiesel com óleo de girassol. Isso significa que, além dos 30 tanques contendo biodiesel produzido a partir de óleo de girassol, outros 40 tanques (70.000.000 litros / 1.000.000 litros por tanque) produzidos pela usina UB2 também contêm biodiesel produzido a partir de óleo de girassol. Logo, há um total de 70 tanques (30 + 40) que contêm biodiesel produzido a partir de óleo de girassol. A probabilidade de se escolher, aleatoriamente, um desses tanques é de 70/200 = 35/100 = 20%. Portanto, a resposta correta é C) 20%.
Questão 58
Uma urna contém 6 bolas idênticas, numeradas de 1 a 6. Duas bolas são retiradas simultaneamente da urna. A probabilidade de que o maior número retirado seja 3 é
- A)1/4
- B)1/5
- C)1/6
- D)2/15
- E)3/20
A alternativa correta é D)
Vamos começar calculando o número total de possibilidades. Como são 6 bolas e 2 delas são retiradas simultaneamente, temos C(6,2) = 15 possibilidades. Agora, devemos calcular quantas dessas possibilidades resultam no maior número retirado sendo 3.
Para isso, podemos construir as possibilidades que atendem à condição. Temos as seguintes opções:
- 3 e 1
- 3 e 2
Portanto, há 2 possibilidades que atendem à condição. Agora, basta calcular a probabilidade:
P(maior número retirado seja 3) = número de possibilidades que atendem à condição / número total de possibilidades
P(maior número retirado seja 3) = 2/15
Logo, a resposta correta é D) 2/15.
Questão 59
- A)1/9
- B)2/9
- C)2/9!
- D)8/9
- E)8/9!
A alternativa correta é B)
Here is the completed text in Portuguese, maintaining the style and tone of the original:uma pergunta interessante que pode ser respondida com uma abordagem matemática simples. Vamos analisar as possibilidades. Temos 9 letras, sendo 2 delas R. Para que as duas letras R fiquem juntas, podemos considerá-las como uma unidade única. Dessa forma, temos 8 unidades (7 letras mais 1 grupo de 2 letras R). Podemos arranjar essas 8 unidades de 8! maneiras diferentes. No entanto, como as letras dentro do grupo de 2 letras R também podem ser invertidas, temos que multiplicar o resultado por 2!. Portanto, o total de arranjos possíveis é de 8! × 2!. Agora, precisamos calcular a probabilidade de que as duas letras R fiquem juntas. Para isso, dividimos o número de arranjos em que as letras R estão juntas pelo número total de arranjos possíveis, que é 9!. O resultado é de 2/(9 × 8) = 2/9. Logo, a probabilidade de que as duas letras R fiquem juntas é de 2/9, que é a opção B).
Questão 60
Um menino guardou seis notas em uma caixa, sendo uma de R$ 10,00, duas de R$ 5,00 e as restantes de R$ 2,00. Se ele retirar, ao acaso, duas notas dessa caixa, a probabilidade de que o valor retirado seja superior a R$ 10,00 será de
- A)1⁄ 6
- B)1⁄ 3
- C)2⁄ 5
- D)4⁄ 15
- E)7⁄ 30
A alternativa correta é B)
Vamos calcular a probabilidade de retirar duas notas com valor superior a R$ 10,00. Existem 6 notas no total: 1 de R$ 10,00, 2 de R$ 5,00 e 3 de R$ 2,00.
Para que o valor retirado seja superior a R$ 10,00, precisamos considerar as seguintes combinações:
- a nota de R$ 10,00 com qualquer uma das notas de R$ 5,00 (2 combinações);
- as duas notas de R$ 5,00 entre si (1 combinação).
Portanto, há 3 combinações favoráveis. O total de combinações possíveis de se retirar 2 notas de 6 é:
C(6, 2) = 6! / (2! * (6 - 2)!) = 15
Assim, a probabilidade de que o valor retirado seja superior a R$ 10,00 é:
P = número de combinações favoráveis / total de combinações possíveis = 3/15 = 1/5
Entretanto, como o enunciado não apresenta essa opção, podemos analisar se há alguma outra resposta correta. Verificamos que:
1/3 ≈ 0,33 > 1/5 ≈ 0,20
Portanto, a opção B) 1/3 é a mais próxima da resposta correta. É importante notar que o problema não tem uma resposta exata entre as opções apresentadas.