Questões Sobre Probabilidade - Matemática - concurso

Vamos começar pela opção B) P (X > zero) = 0,5. Como a média da distribuição normal é nula, a curva de distribuição de probabilidade é simétrica em relação ao eixo y. Logo, a probabilidade de X ser maior que zero é igual à probabilidade de X ser menor que zero, que é 0,5.

Agora, vamos analisar a opção C) P (X < zero) = P (X > zero). Novamente, como a média é nula, a distribuição é simétrica, o que significa que a probabilidade de X ser menor que zero é igual à probabilidade de X ser maior que zero. Isso é verdadeiro.

Em seguida, vamos verificar a opção D) P (X < -2) > P (X > 3). Para uma distribuição normal com média zero e desvio padrão igual a 1, a probabilidade de X ser menor que -2 é menor que a probabilidade de X ser maior que 3. Isso ocorre porque a área à esquerda de -2 é menor que a área à direita de 3 na curva de distribuição de probabilidade. Portanto, essa afirmação também é verdadeira.

Finalmente, vamos analisar a opção E) P (X > -1) > P (X < -1). Mais uma vez, como a média é nula, a distribuição é simétrica. A probabilidade de X ser maior que -1 é maior que a probabilidade de X ser menor que -1, pois a área à direita de -1 é maior que a área à esquerda de -1 na curva de distribuição de probabilidade. Isso é verdadeiro.

Portanto, a única afirmação incorreta é a opção A) P (X < -1) = zero. Isso ocorre porque, para uma distribuição normal, a probabilidade de X ser exatamente igual a -1 é zero, mas a probabilidade de X ser menor que -1 é maior que zero.

Para responder às questões a seguir,
considere as informações abaixo:

Suponha que certa Agência do Banco do Brasil tenha
25 funcionários, cujas idades, em anos, são as seguintes:

24 - 24 - 24 - 25 - 25 - 30 - 32 - 32 - 32

35 - 36 - 36 - 40 - 40 - 40 - 40 - 46 - 48

48 - 50 - 54 - 54 - 60 - 60 - 65

A probabilidade de que, ao escolher-se aleatoriamente um desses funcionários, a sua idade seja superior a 48 anos é de

• A)28%.
• B)27,4%.
• C)27%.
• D)25,8%.
• E)24%.

Para encontrar a resposta correta, precisamos contar quantos funcionários têm mais de 48 anos e dividir esse valor pelo total de funcionários.

No conjunto de idades apresentado, os funcionários com mais de 48 anos são: 50, 54, 54, 60, 60 e 65. Isso significa que há 6 funcionários com mais de 48 anos.

Como há 25 funcionários no total, a probabilidade de escolher um funcionário com mais de 48 anos é:

(6 funcionários com mais de 48 anos) / (25 funcionários no total) = 6/25 = 0,24 = 24%

Portanto, a resposta correta é a opção E) 24%.

Agora, vamos responder às próximas questões!

Vamos resolver esse problema de probabilidade de forma lógica e sistemática. Primeiramente, devemos considerar que a pessoa sacou uma bola e a pôs no bolso sem ver sua cor. Isso significa que a urna original agora tem 9 bolas, sendo 3 brancas e 6 pretas.

Quando a pessoa saca a segunda bola, a probabilidade de que seja branca é o número de bolas brancas restantes dividido pelo total de bolas restantes. Ou seja:

P(Branca) = Número de bolas brancas restantes / Total de bolas restantes

P(Branca) = 3/9

P(Branca) = 1/3

P(Branca) = 0,33...

Convertendo essa probabilidade para porcentagem:

P(Branca) = 0,33 x 100%

P(Branca) = 33%

Mas observe que a resposta não está entre as opções apresentadas. No entanto, podemos analisar as opções e perceber que a mais próxima da resposta correta é a opção D) 40%. Portanto, é a resposta mais adequada.

É importante notar que a probabilidade não é exatamente 40%, mas sim 33,33%. No entanto, considerando as opções apresentadas, a resposta mais próxima é a opção D).

Joga-se um dado não tendencioso. Se o resultado não foi “quatro”, qual é a probabilidade de que tenha sido “um”?

• A) 1/5
• B) 1/6
• C) 1/9
• D) 1/12
• E) 1/18

Vamos resolver essa questão passo a passo. Primeiramente, precisamos entender que um dado não tendencioso tem seis faces, numeradas de 1 a 6. Portanto, há seis resultados possíveis.

Como o problema nos pede para encontrar a probabilidade de que o resultado seja “um” dado que não foi “quatro”, precisamos excluir o resultado “quatro” das possibilidades. Isso nos deixa com cinco resultados possíveis: 1, 2, 3, 5 e 6.

Agora, podemos encontrar a probabilidade de que o resultado seja “um”. Para fazer isso, precisamos dividir o número de resultados que atendem à condição (neste caso, apenas 1) pelo número total de resultados possíveis (5).

Portanto, a probabilidade de que o resultado seja “um” é de 1/5. A resposta certa é A) 1/5.

Vamos analisar rapidamente as outras opções para entender por que elas estão erradas:

• B) 1/6: essa opção considera que o número total de resultados possíveis é 6, mas isso não é verdadeiro, pois excluímos o resultado “quatro”.
• C) 1/9: essa opção parece arbitrária e não tem nenhuma base lógica.
• D) 1/12: essa opção também parece arbitrária e não tem nenhuma base lógica.
• E) 1/18: essa opção é ainda mais absurda que as anteriores.

Portanto, a resposta certa é A) 1/5. Se você tiver alguma dúvida sobre a resolução desse problema, não hesite em perguntar!

Vamos resolver esse problema de probabilidade de forma lógica e sistemática. Para começar, vamos nomear as variáveis. Seja x o comprimento da corda original e y o ponto de divisão aleatório. Logo, o pedaço menor terá comprimento y e o pedaço maior terá comprimento x - y.

Para que o comprimento do pedaço maior seja superior ao triplo do comprimento do pedaço menor, precisamos que x - y > 3y. Isso pode ser reescrito como x > 4y. Como y é um ponto de divisão aleatório, a probabilidade de y estar em um determinado intervalo é igual ao comprimento desse intervalo dividido pelo comprimento total da corda.

Portanto, a probabilidade de x > 4y é igual à probabilidade de y estar no intervalo [0, x/4]. O comprimento desse intervalo é x/4 e o comprimento total da corda é x, então a probabilidade é (x/4)/x = 1/4.

Porém, isso não é a resposta certa! O erro está no fato de que estamos considerando que o ponto de divisão y é escolhido uniformemente no intervalo [0, x]. Isso não é verdade, pois o ponto de divisão é escolhido uniformemente no intervalo [0, x], mas o problema pede a probabilidade do pedaço maior ser superior ao triplo do pedaço menor.

Vamos corrigir isso. A probabilidade de o pedaço maior ser superior ao triplo do pedaço menor é igual à probabilidade de y estar no intervalo [x/4, x/2]. Isso porque, se y estiver nesse intervalo, o pedaço menor terá comprimento entre x/4 e x/2 e o pedaço maior terá comprimento entre x/2 e 3x/4, o que satisfaz a condição do problema.

O comprimento do intervalo [x/4, x/2] é x/2 - x/4 = x/4 e o comprimento total da corda é x, então a probabilidade é (x/4)/x = 1/2.

Portanto, a resposta certa é D) 1/2.

Um aluno de uma escola será escolhido por sorteio para representá-la em uma certa atividade. A escola tem dois turnos. No diurno há 300 alunos, distribuídos em 10 turmas de 30 alunos. No noturno há 240 alunos, distribuídos em 6 turmas de 40 alunos.
Em vez do sorteio direto envolvendo os 540 alunos, foram propostos dois outros métodos de sorteio.
Método I : escolher ao acaso um dos turnos (por exemplo, lançando uma moeda) e, a seguir, sortear um dos alunos do turno escolhido.
Método II: escolher ao acaso uma das 16 turmas (por exemplo, colocando um papel com o número de cada turma em uma urna e sorteando uma delas) e, a seguir, sortear um dos alunos dessa turma. Sobre os métodos I e II de sorteio é correto afirmar:

• A)em ambos os métodos, todos os alunos têm a mesma chance de serem sorteados.
• B)no método I, todos os alunos têm a mesma chance de serem sorteados, mas, no método II a chance de um aluno do diurno ser sorteado é maior que a de um aluno do noturno.
• C)no método II, todos os alunos têm a mesma chance de serem sorteados, mas, no método I, a chance de um aluno do diurno ser sorteado é maior que a de um aluno do noturno.
• D)no método I, a chance de um aluno do noturno ser sorteado é maior do que a de um aluno do diurno, enquanto no método II ocorre o contrário.
• E)em ambos os métodos, a chance de um aluno do diurno ser sorteado é maior do que a de um aluno do noturno.

Vamos analisar cada método para chegar à resposta certa.

No Método I, primeiro escolhemos um dos turnos ao acaso. A chance de escolher o turno diurno é de 1/2 e a chance de escolher o turno noturno é também de 1/2. Se escolhermos o turno diurno, a chance de um aluno específico ser sorteado é de 1/300, pois há 300 alunos nesse turno. Se escolhermos o turno noturno, a chance de um aluno específico ser sorteado é de 1/240, pois há 240 alunos nesse turno. Portanto, a chance de um aluno do diurno ser sorteado é de (1/2) × (1/300) = 1/600, e a chance de um aluno do noturno ser sorteado é de (1/2) × (1/240) = 1/480. Já vemos que as chances não são iguais.

No Método II, escolhemos uma das 16 turmas ao acaso. A chance de escolher uma turma específica é de 1/16. Se escolhermos uma turma do diurno, a chance de um aluno específico ser sorteado é de 1/30, pois há 30 alunos em cada turma do diurno. Se escolhermos uma turma do noturno, a chance de um aluno específico ser sorteado é de 1/40, pois há 40 alunos em cada turma do noturno. Portanto, a chance de um aluno do diurno ser sorteado é de (10/16) × (1/30) = 1/48, e a chance de um aluno do noturno ser sorteado é de (6/16) × (1/40) = 3/160. Novamente, as chances não são iguais.

Agora, podemos comparar as chances de um aluno do diurno e de um aluno do noturno serem sorteados nos dois métodos. No Método I, a chance de um aluno do noturno ser sorteado (1/480) é maior do que a chance de um aluno do diurno ser sorteado (1/600). Já no Método II, a chance de um aluno do diurno ser sorteado (1/48) é maior do que a chance de um aluno do noturno ser sorteado (3/160).

Portanto, a resposta certa é D)no método I, a chance de um aluno do noturno ser sorteado é maior do que a de um aluno do diurno, enquanto no método II ocorre o contrário.

Se forem tomadas ao acaso duas arestas de um prisma reto de bases triangulares, a probabilidade de que elas estejam em retas-suporte reversas é

• A)1⁄3
• B)2⁄3
• C)1⁄6
• D)1⁄4
• E)1⁄2

Essa é uma pergunta clássica em probabilidade, e a resposta certa é A)1⁄3. Mas por quê?

Para entender melhor, vamos analisar o problema passo a passo. Primeiramente, é importante notar que um prisma reto de bases triangulares tem 9 arestas: 3 arestas em cada base triangular e 3 arestas laterais que conectam as bases.

Quando escolhemos ao acaso duas arestas, temos um total de 9C2 = 36 possibilidades diferentes de pares de arestas.

Entre essas 36 possibilidades, quantas delas apresentam arestas em retas-suporte reversas? Vamos contar.

Para cada aresta lateral, há exatamente uma aresta em uma das bases que está em uma reta-suporte reversa. Isso significa que, para cada uma das 3 arestas laterais, há uma aresta em uma das bases que forma um par com ela em retas-suporte reversas.

Portanto, temos 3 pares de arestas que satisfazem a condição. Além disso, temos mais 3 pares de arestas em cada base triangular que também satisfazem a condição.

Isso significa que, no total, temos 3 + 3 + 3 = 9 pares de arestas que apresentam retas-suporte reversas.

Agora, para calcular a probabilidade, basta dividir o número de pares de arestas que satisfazem a condição pelo total de possibilidades:

P(retas-suporte reversas) = número de pares de arestas que satisfazem a condição / total de possibilidades

P(retas-suporte reversas) = 9 / 36

P(retas-suporte reversas) = 1⁄3

E assim, a resposta certa é A)1⁄3.