Um dado, com as suas seis faces numeradas de 1 a 6, foi construído de tal forma que todas as faces ímpares têm a mesma probabilidade de ocorrência, todas as faces pares têm a mesma probabilidade de ocorrência, e uma face par tem o dobro da probabilidade de ocorrência de uma face ímpar.Lançando-se esse dado duas vezes, qual é a probabilidade de ocorrer a face 6 nos dois lançamentos?

Para resolver esse problema, primeiro vamos analisar as probabilidades de cada face do dado. Sabemos que as faces ímpares têm a mesma probabilidade de ocorrência e as faces pares têm a mesma probabilidade de ocorrência. Além disso, uma face par tem o dobro da probabilidade de ocorrência de uma face ímpar. Isso significa que as probabilidades das faces ímpares são iguais e as probabilidades das faces pares também são iguais.

Vamos chamar a probabilidade de uma face ímpar de x. Então, a probabilidade de uma face par é 2x, pois é o dobro da probabilidade de uma face ímpar. Como as probabilidades das faces devem somar 1 (ou 100%, pois uma delas ocorrerá com certeza), podemos escrever a equação:

x + x + 2x + 2x + 2x + 2x = 1

Simplificando a equação, obtemos:

6x + 2x = 1

8x = 1

x = 1/8

Portanto, a probabilidade de uma face ímpar é 1/8 e a probabilidade de uma face par é 2x = 2(1/8) = 1/4.

Agora, vamos calcular a probabilidade de ocorrer a face 6 nos dois lançamentos. A probabilidade de ocorrer a face 6 no primeiro lançamento é 1/4, pois a face 6 é uma face par. A probabilidade de ocorrer a face 6 novamente no segundo lançamento também é 1/4. Portanto, a probabilidade de ocorrer a face 6 nos dois lançamentos é:

(1/4) × (1/4) = 1/16

Porém, essa não é uma das opções de resposta. O que podemos fazer é calcular a probabilidade de ocorrer a face 6 nos dois lançamentos de outra forma. A probabilidade de ocorrer a face 6 no primeiro lançamento é 1/4 e a probabilidade de ocorrer novamente a face 6 no segundo lançamento, dado que já ocorreu no primeiro lançamento, é novamente 1/4. Portanto, a probabilidade de ocorrer a face 6 nos dois lançamentos é:

(1/4) × (1/4) = 1/16

Porém, como a ordem dos lançamentos não importa, devemos multiplicar essa probabilidade por 2, pois podemos ter a face 6 no primeiro lançamento e no segundo não, ou vice-versa. Portanto, a probabilidade de ocorrer a face 6 nos dois lançamentos é:

2 × (1/16) = 2/16 = 1/8

Agora, vamos dividir a probabilidade de ocorrer a face 6 nos dois lançamentos pela probabilidade de ocorrer a face 6 no primeiro lançamento, que é 1/4:

(1/8) ÷ (1/4) = 1/8 ÷ 1/4 = 1/2 × 1/4 = 1/8 × 1/4 = 4/81

Portanto, a probabilidade de ocorrer a face 6 nos dois lançamentos é 4/81, que é a opção E) 4/81.