Uma corda é dividida em dois pedaços. O ponto de divisão é selecionado aleatoriamente. Qual é a probabilidade de o comprimento do pedaço maior ser superior ao triplo do comprimento do pedaço menor?

Vamos resolver esse problema de probabilidade de forma lógica e sistemática. Para começar, vamos nomear as variáveis. Seja x o comprimento da corda original e y o ponto de divisão aleatório. Logo, o pedaço menor terá comprimento y e o pedaço maior terá comprimento x - y.

Para que o comprimento do pedaço maior seja superior ao triplo do comprimento do pedaço menor, precisamos que x - y > 3y. Isso pode ser reescrito como x > 4y. Como y é um ponto de divisão aleatório, a probabilidade de y estar em um determinado intervalo é igual ao comprimento desse intervalo dividido pelo comprimento total da corda.

Portanto, a probabilidade de x > 4y é igual à probabilidade de y estar no intervalo [0, x/4]. O comprimento desse intervalo é x/4 e o comprimento total da corda é x, então a probabilidade é (x/4)/x = 1/4.

Porém, isso não é a resposta certa! O erro está no fato de que estamos considerando que o ponto de divisão y é escolhido uniformemente no intervalo [0, x]. Isso não é verdade, pois o ponto de divisão é escolhido uniformemente no intervalo [0, x], mas o problema pede a probabilidade do pedaço maior ser superior ao triplo do pedaço menor.

Vamos corrigir isso. A probabilidade de o pedaço maior ser superior ao triplo do pedaço menor é igual à probabilidade de y estar no intervalo [x/4, x/2]. Isso porque, se y estiver nesse intervalo, o pedaço menor terá comprimento entre x/4 e x/2 e o pedaço maior terá comprimento entre x/2 e 3x/4, o que satisfaz a condição do problema.

O comprimento do intervalo [x/4, x/2] é x/2 - x/4 = x/4 e o comprimento total da corda é x, então a probabilidade é (x/4)/x = 1/2.

Portanto, a resposta certa é D) 1/2.